МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Лабораторная работа №3 Методы Ньютона и сопряжённых градиентов
Выполнил:
Уфа - 2004.
Цель работы: знакомство с методами многомерной безусловной оптимизации второго порядка и близкого к ним по эффективности метода сопряжённых градиентов, освоение и сравнение эффективности их применения для конкретных целевых функций.
Задание:
Найти минимум функции f(x1, x2) = 3·x1 - 1,4·x2 + exp(0,09·x12 + 1,3·x22).
Начальное приближение (-1,0) точность решения 0,0003.
Для решения задачи использовать методы:
б) метод Ньютона-Рафсона с дроблением шага;
г) модификация I метода Ньютона;
Алгоритмы методов:
Схема метода Ньютона – Рафсона с дроблением шага.
|
шаг 1: |
На первой итерации, при k = 0, вводятся исходные данные x0, , ε3. Вычисляются значения градиента f '(x0) и матрица f ''(x0). |
|
шаг 2: |
Присваивается = 1. Определяется направление спуска pk, как решение системы линейных уравнений f ''(xk)·pk = – f '(xk). |
|
шаг 3: |
Проверяется условие f(xk + kpk ) – f(xk) ·k(f '(xk), pk). Если выполняется, то переход к шагу 4. Иначе дробим значение шага (например, = /2) и повторяем шаг 3. |
|
шаг 4: |
Определяется следующая точка: xk+1 = xk + ·pk. |
|
~ ~ |
Вычисляются значение градиента f '(xk+1) в точке xk+1. |
|
шаг 6: |
Если ||f '(xk+1)|| ε3, то поиск на этом заканчивается и полагается x = xk+1 и y = f(xk+1). Иначе k = k + 1 и переход к шагу 2. |
Схема модификации I метода Ньютона.
|
шаг 1: |
При k = 0, вводятся x0, ε3. Вычисляются f '(x0) и f ''(x0). |
|
шаг 2: |
Определение обратной матрицы (f ''(x0))–1. |
|
шаг 3: |
Определение направления спуска pk: pk = – f '(xk)·(f ''(x0))–1. |
|
шаг 4: |
Определение следующей точки: xk+1 = xk + ·pk, где – решение задачи одномерной минимизации функции φ() = f(xk + ·pk), при ≥ 0. |
|
~ ~ |
Вычисление в точке xk+1.градиента f '(xk+1) |
|
шаг 6: |
Если ||f '(xk+1)|| ε3, то поиск заканчивается и полагается x = xk+1 и y = f(xk+1). Иначе k = k + 1 и переход к шагу 3. |
Блок–схема метода Ньютона-Рафсона с дроблением шага:
Блок–схема модификации I метода Ньютона:
начало x0,
ε, f(x1,x2)=3x1-1.4x2+ k=0;
f '(x0)
f
''(x0)
pk
=
– f '(xk)·(f
''(x0))–1 – α
f /(xk) f
/(xk+1)
||
f /(xk+1)
||
ε k=k+1 да нет конец xk+1
= xk
+ ·pk
φ()
= f(xk
+ ·pk) α
≥ 0
(f
''(x0))–1
Текст программы:
Program Metod_Nuton_Rafson;
Uses Crt;
Const a=3;b=-1.4;c=0.09;d=1.3;e=0.0003;del=0.09;
Var
k:Integer;
Dx1,Dx2,Dx1x1,Dx1x2,Dx2x2,Dx2x1,Opr,OprX1,OprX2,p1,p2,p,al:Real;