1. Интегрируемые системы

Сводимость к свободному (невозмущенному) движению систем.

Что будет при несводимости?

Можно ли описать неинтегрируемую систему в терминах траекторий?

Может ли система, заданная детерминированным уравнением иметь стохастическую динамику?

2. Гамильтонова форма уравнений динамических систем

Декартова система координат.

Гамильтонова система координат.

Гамильтониан.

Канонические уравнения Гамильтона.

Канонические уравнения систем без взаимодействия.

Переход к полярным координатам. Каноническое преобразование.

Интегрируемые динамические системы: потенциальную энергию можно исключить с помощью канонического преобразования?

3. Резонансы. Динамический хаос

Условие резонанса. Резонансные и нерезонансные торы. Периодические и квазипериодические движения.

Подавляющее большинство нелинейных динамических систем – неинтегрируемые. Доказательство А.Пуанкаре.

Сохранение квазипериодического движения после возмущения. Условие А.Н.Колмогорова.

Два типа движений: слегка изменившееся квазипериодическое; стохастическое, возникающее при разрушении резонансных торов.

Переход к хаосу. Существование траекторий двух типов – регулярных и стохастических.

4. Консервативные динамические системы

Огромный класс объектов классической динамики – консервативные системы.

Инерциальная система отсчета. Возмущающих сил нет. Три закона сохранения. Обратимость времени.

Движение изображающей точки в фазовом пространстве системы – по фазовым траекториям.

Условие Лиувилля для консервативных систем.

Диссипативные системы

1. Уравнение x’=F(x)

Детальное качественно исследование этого уравнения: устоновившиеся режимы и асимптотическое поведение.

Аттракторы. Число и типы аттракторов. Области притяжения аттракторов.

Вид фазовых траекторий вблизи аттрактора и далеко от аттрактора.

2. Уравнение автокаталитической реакции (брюсселятор)

Постановка задачи.

Исследование модели в линейном приближении.

Влияние параметра.

Рождение предельного цикла. Задача Коши.

Задача Дирихле. Бифуркация Хопфа.

Изменение концентраций по длине реактора.

Возникновение пространственной структуры.

Бифуркация Тьюринга.

3. Диссипативные системы

Макроскопические переменные.

Необратимость.

Второй закон термодинамики и его следствия.

Связь между консервативными и диссипативными системами.

Макроскопические переходы. Крупномасштабные корреляции. Возникновения макроструктур.

Равновесия при неравновесных ограничениях.

Бифуркации.

Странные аттракторы. Динамический хаос

1. Узел, фокус, предельный цикл – математические образы установившихся режимов

Принадлежащие аттрактору траектории устойчивы

Предопределенность поведения на этих траекториях при начальных условиях, заданных с погрешностю.

Существование и единственность решений на конечном интервале времени.– условие ляпуновской теории устойчивости решений..

Как изменяется со временем расстояние между двумя близкими точками на траектории, принадлежащей аттрактору: узел или фокус, предельный цикл?

Когда величина собственного числа  характеризует аттрактор?

Достоверный прогноз разбегания близких вначале траекторий во времени для нелинейных систем.