- •1.Первообразная
- •2. Неопределенный интеграл.
- •3. Методы интегрирования.
- •Функция r является нечетной относительно sinx.
- •9. Интеграл вида
- •10. Интегрирование биноминальных дифференциалов.
- •12. Определенный интеграл.
- •13. Формула Ньютона – Лейбница) теорема
- •14. Вычисление площадей плоских фигур.
- •16. Вычисление длины дуги кривой.
- •17. Несобственные интегралы.
- •20. Вычисление объемов тел.
- •22. Условный экстремум.
- •23. Функции нескольких переменных
- •24.Полный дифференциал фнп
- •26. Производная от сложной фнп Теорема.
- •27.Инвариантность формы полного дифф.
- •28.Касательная и нормаль к поверхности
- •30.Градиент
- •31.Теорем о связи производной по направлению с градиентом.
- •32. Частные производные высших порядков.
- •33. Экстремум функции нескольких переменных
- •34. Экстремум функции нескольких переменных
- •35.Теорема. (Достаточные условия экстремума).
- •37.Нахождение наибольшего,меньшего знач фпн
- •39.Нахождение интегралов вида Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.
- •43.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •46. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши.
- •47. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
- •48. Теорема о структуре решения общего линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
- •49. Определитель Вронского и его свойства.
- •50 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •58. Метод исключения для решения систем дифференциальных уравнений.
- •59. Метод Эйлера(матричный метод) для решения однородных систем с постоянными коэффициентами.
- •60. Линейный дифференциальный оператор и его свойства.
Функция r является нечетной относительно sinx.
По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.
Тогда
=
Интеграл вида функция R четная относительно sinx и cosx.
Для преобразован ия функции R в рациональную используется подстановка
t = tgx.Тогда
9. Интеграл вида
Эти интегралы вычисляются подстановками tg x=t и ctg x=t соответственно. Если t=tg x, то x=arctg t, . Тогда
10. Интегрирование биноминальных дифференциалов.
Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение
xm(a + bxn)pdx
где m, n, и p – рациональные числа.
Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:
Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки
, где - общий знаменатель m и n.
ли - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой
, где s – знаменатель числа р.
3) Если - целое число, то используется подстановка , где s – знаменатель числа р.
Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.
На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.
11. Нахождение интегралов вида Интеграл этой группы находится с помощью подстановки,
, где S общий знаменатель дробей стоящие в степени.
12. Определенный интеграл.
Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxxi 0 и произвольном выборе точек i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].
Обозначение :
а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.
Определение: Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].
Также верны утверждения:
Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.
Свойства определенного интеграла.
=
Если f(x) (x) на отрезке [a, b] a < b, то
13. Формула Ньютона – Лейбница) теорема
Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то
это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.
Доказательство:
Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то
при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:
Тогда .
А при х = b:
Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:
14. Вычисление площадей плоских фигур.
Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.
Для нахождения суммарной площади используется формула .
Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.