Постановка задачи

При откорме животных каждое из них ежедневно должно получить не менее 60 единиц питательного вещества A, не менее 50 единиц вещества B, не менее 12 единиц питательного вещества C. Указанные питательные вещества содержат 3 вида кормов. Содержание единиц питательных веществ в 1 кг каждого из видов корма приведено в таблице:

Питательные вещества	Количество единиц питательного вещества в 1 кг вида			Потребности в питательных веществах
	1	2	3
A	1	3	4	60
B	2	4	2	50
C	1	4	3	12
Цена за 1 кг	9	12	10

Определить минимальные затраты при потреблении питательных веществ.

Решение задачи

1 .Запишем математическую модель задачи, которая удовлетворяет следующим условиям:

x ₁+3x₂+4x₃≥60

2x₁+4x₂+2x₃≥50

x ₁+4x₂+3x₃≥12

x_i≥0 i=1,3

И обеспечивает минимальное значение целевой функции:

F(x)= 9x₁+12x2+10x3→min

2.Составляем двойственную задачу с ограничениями:

Z(y)=60y₁+50y₂+12y₃→max

y₁+2y₂+y₃≤9

3y₁+4y₂+4y₃≤12

4y₁+2y₂+3y₃≤10

y _i≥0 i=1,3

3.Д ля построения первого опорного плана систему неравенств двойственной задачи приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных y₄,y₅,y₆.

y₁+2y₂+y₃+y₄=9

3y₁+4y₂+4y_3+y5=12

4y₁+2y₂+3y₃₊y₆=10

y _i≥0 i=1,3

Эти переменные будут базисными.

4.Составляем симплексную таблицу(алгоритм составления описан выше):

План	Базисные переменные	Значение баз. переменных	Значение коэффициентов						Q max
			Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6
1	Y4	9	1	2	1	1	0	0	9
	Y5	12	3	4	4	0	1	0	4
	Y6	10	4	2	3	0	0	1	2,5
Инд. строка	Z1(y)	0	-60	-50	-12	0	0	0
2	Y4	6,5	0	1,5	0,25	1	0	-0,25	4,33
	Y5	4,5	0	2,5	1,75	0	1	-0,75	1,8
	Y1	2,5	1	0,5	0,75	0	0	0,25	5
Инд. Строка	Z2(y)	150	0	-20	33	0	0	15
3	Y4	3,8	0	0	-0,8	1	-0,6	0,2	4,33
	Y2	1,8	0	1	0,7	0	0,4	-0,3	1,8
	Y1	1,6	1	0	0,4	0	-0,2	0,4	5
Инд. строка	Z3(y)	186	0	0	47	0	8	9

План является оптимальным. При этом Z _max (y)=186, y₁=1,6, y₂=1,8, y₃=0

5. Нахождение решения прямой задачи.

На основании теоремы двойственности, которая гласит, что если одна из задач двойственной пары имеет решение, то другая также решима, можем сделать вывод:

Z _max (y)=F_min(x)=186, при этом x₁=0, x₂=8, x3=9.

Ответ: Минимальные затраты потребления питательных веществ равны 186кг.

Решение задачи с помощью MS excel

Общий вид задачи:

Поиск решения:

Ответ: 186кг.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баканов М. И., Бровиков И. С, Бабурин В. Т. Математические методы анализа в торговле. - М.: Экономика, 1967.

2. Пинегина М. В. Математические методы и модели в экономике. - М.: Изд-во «Экзамен», 2002.

3. . Смирнова В. В. Математическое программирование. Методические указания. -М.: МУПК, 1998.

4. Фомин Г. П. Методы и модели линейного программирования в коммерческой деятельности: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2000.

21