26. Системы счисления. Представление чисел в позиционных и непозиционных системах

Система счисления - совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчисленное множество. Любая предназначенная для практического применения с.с должна обеспечивать:

• возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;

• единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);

• простоту оперирования числами;

В зависимости от способов изображения чисел цифрами, системы счисления делятся на непозиционные и позиционные. Непозиционной системой называется такая, в которой количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ей позиции в изображении числа (римская система счисления). Позиционной системой счисления называется такая, в которой количественное значение каждой цифры зависит от её позиции в числе (арабская система счисления). Количество знаков или символов, используемых для изображения числа, называется основанием системы счисления. Позиционные системы счисления имеют ряд преимуществ перед непозиционными: удобство выполнения арифметических и логических операций, а также представление больших чисел, поэтому в цифровой технике применяются позиционные системы счисления. Запись чисел может быть представлена в виде А_(D) =D₁+D₂+…+D_k= , где A(D) - запись числа A в с.с. D; D_i - символ системы, образующие базу.

По этому принципу построены непозиционные с.с. В общем же случае системы счисления: A(B)=a₁B₁+a₂B₂ +...+a_nB_n. Если положить, что B_i=q^B_i-1, а B₁=1, то получим позиционную с.с. При q=10 мы имеем дело с привычной нам десятичной с.с. На практике также используют другие с.с. Каждая с.с имеет свои правила арифметики (таблица умножения, сложения). В позиционной с.с число можно представить через его цифры с помощью следующего многочлена относительно q: A=a₁*q⁰+a₂*q¹+...+a_n*qⁿ (1) Выражение (1) формулирует правило для вычисления числа по его цифрам в q-ичной с.с.

27. Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Перевод из десятичной системы счисления – в двоичную и шестнадцатиричную:

1. исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16); получается частное и остаток;

2. если полученное частное не делится на основание системы счисления так, чтобы образовалась целая часть, отличная от нуля, процесс умножения прекращается, переходят к шагу 3). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге 1);

3. все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;

4. формируется результирующее число: его старший разряд - полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа - первый остаток от деления, а старший - последнее частное.

Из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления - в десятичную:

производится по формуле A=a₁*q⁰+a₂*q¹+...+a_n*qⁿ , где q – система счисления, из которой необходимо перевести (2, 16).

Из двоичной в шестнадцатиричную:

1. исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;

2. каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей

Из шестнадцатиричной в двоичную:

1. каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;

2. незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.

Особенности перевода правильных дробей из 10-ой с.с – в 2-ую и 16-ую с.с.:

1. исходная дробь умножается на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16);

2. в полученном произведении целая часть преобразуется в соответствии с таблицей в цифру нужной системы счисления и отбрасывается - она является старшей цифрой получаемой дроби;

3. оставшаяся дробная часть вновь умножается на нужное основание системы счисления с последующей обработкой полученного произведения в соответствии с шагами 1) и 2).

4. процедура умножения продолжается до тех пор, пока ни будет получен нулевой результат в дробной части произведения или ни будет достигнуто требуемое количество цифр в результате;

5. формируется результат: последовательно отброшенные в шаге 2) цифры составляют дробную часть результата, причем в порядке уменьшения старшинства.

Перевод из других с.с. правильных дробей аналогичен переводу целых чисел.

При переводе дробных чисел из одной с.с. в другую, отдельно переводится целая часть числа, отдельно - дробная. Результаты складываются.

28. Представление чисел в ЭВМ.

Существуют два способа представления чисел в памяти ЭВМ. Они называются так: форма с фиксированной точкой и форма с плавающей точкой. Форма с фиксированной точкой применяется к целым числам, форма с плавающей точкой — к вещественным числам (целым и дробным). Под точкой здесь подразумевается знак-разделитель целой и дробной части числа.

Для представления отрицательных целых чисел используется дополнительный код. Дополнительным кодом двоичного числа X в N-разрядной ячейке является число, дополняющее его до значения 2. Получить дополнительный код можно следующим путем:

1. записать внутреннее представление положительного числа X (в 2 с.с.);

2. записать обратный код этого числа заменой во всех разрядах 0 на 1 и 1 на 0;

3. к полученному числу прибавить 1.

Старший разряд в представлении любого отрицательного числа равен 1. Следовательно, он указывает на знак числа и поэтому называется знаковым разрядом.

Необходимость представлять отрицательные числа в дополнительном коде обусловлена тем, что в этом случае операция вычитания двух чисел сводится к сложению с дополнительным кодом вычитаемого, и процессору достаточно уметь лишь складывать числа. (А - В = А + (-В)).

Вещественные числа. Числовые величины, которые могут принимать любые значения (целые и дробные) называются вещественными числами. Также используется термин «действительные числа». Решение большинства математических задач сводится к вычислениям с вещественными числами.

Вещественные числа в памяти компьютера представляются в форме с плавающей точкой. Форма с плавающей точкой использует представление вещественного числа R в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления р в некоторой целой степени n, которую называют порядком: R = m * рⁿ (пример: 25,324 = 2,5324*10¹)

Алгоритм представления числа с плавающей запятой:

1. Перевести число из p-ичной системы счисления в двоичную;

2. представить двоичное число в нормализованной экспоненциальной форме

(R = m * рⁿ);

3. рассчитать смещённый порядок числа;

4. разместить знак, порядок и мантиссу в соответствующие разряды сетки.

29. Принципы организации вычислительного процесса. Алгоритм Фон-Неймана.

Сущность фон-неймановской концепции вычислительной машины можно свести к четырем принципам:

• двоичного кодирования;

• программного управления;

• однородности памяти;

• адресности.