27 Вопрос/ Линейные неоднородные ду высшего порядка с постоянными коэффициентами и сист. Правой частью

Пусть правая часть линейного неоднородного ДУ второго порядка с постоянными коэфиц.

, имеет вид

Тогда частное решение y* определяется по формуле

а) не является корнем характерестического уравнения, тогда

б) является корнем характерестического уравнения тогда

Рассмотрим случай, когда правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид:

и если L=0, то

M,N- постоянные числа или коэф., тогда частное решение находится в виде:

А) не является корнем уравнения, тогда

b) является корнем характерест. уравнения

28 Вопрос . Название потеряно !

Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные. Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей n искомых функций Уl, У2, ... , Уn, следующий:

Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т. е. система вида

называется нормальной системой ДУ. При этом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций.

29 Вопрос. Понятие числового ряда, частной суммы ряда, суммы ряда, остатка ряда.

Числовым рядом называется выражение вида:

а1+а2+а3+…+ +…, где а1,а2, - числа, принадлежащие некоторой определённой числовой системе.

Сумма первых n членов ряда называется частичной суммой ряда.

Сумма ряда – это предел последовательности сумме.

Ряд называется n-ым остатком ряда.

30 Вопрос. Необходимое условие сходимости ряда

Если ряд а1, а2,…, ,… сходится, то его общий член стремится к нулю.

31 Вопрос. Признаки сходимости знакоположительных рядов

Признак сравнения: Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

Если для любого n, то из сходимости ряда 1 следует сходимость ряда 2 и сумма ряда 2 не превосходит сумму ряда 1; из расходимости ряда 2 следует расходимость ряда1.

Признак Даламбера: Пусть дан ряд с положительными членами. Допустим, что существует и =p.

Тогда:

1. если р<1, то ряд 1 сходится;

2. если р>1, то ряд 1 расходится.

Признак Коши: Пусть дан ряд с неотрицательными членами. Допустим, что

Тогда:

1)если р<1, то ряд 1 сходится;

2)если р>1, то ряд 1 расходится

Интегральный признак:

Пусть дан ряд с положительными членами, причём а1>a2>a3>…>an>… и f(x)- такая непрерывная монотонна убывающая функция, что f(n)=an. Тогда данный ряд и несобственный интеграл одновременно сходится или расходится.

32 вопрос. Знакоположительные числовые ряды, абсолютная и условная сходимость.

Ряды, содержажие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными.

Закопеременный ряд называется обсолютно сходящимся, если сходится ряд составленный из модулей всех членов ряда.

Ряд а1+а2+…+аn+… называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд составленный из модулей его членов.

33 вопрос. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Ряд называется знакочередуючимся, если положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочердно.

Признак Лейбница:

1. его члены убывают по модулю,

2. его общий член стремится к нулю

При этом сумма ряда удовлетворяет неравенствам

34 вопрос. Понятие функционального ряда, область сходимости и сумма ряда.

Выражение вида называется функциональным рядом.

Множество всех точек сходимости функционального ряда называется облостью сходимости ряда.

Сумма ряда является некоторой функцией f(x).

35 вопрос. Степенные ряды,радиус, интервал, область сходимости степенного ряда.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Число R называется радиусом сходимости ряда, если при всех х. для которых |x|<R, ряд сходится, а при всех х, для которых |x|>R, ряд расходится.

Радиус сходимости опрнделяется по формуле:

Независимо от того, какой именно случай имеет место, интервал (-R;R) называется интервалом сходимости ряда.

Теорема:

Пусть существует конечный или бесконечный придел Тогда:

1. если и то степенной ряд сходится абсолютно в нтервале(-1/l;1/l)

2. если l=0, то ряд сходится при любом х;

3. если l=+ , то ряд сходится лишь при х=0