26. Геометрический и гармонический ряды
Геометрический ряд – это ряд вида
(10)составленный
из членов геометрической прогрессии.
Сумма первых
членов геометрической прогрессии при
находится по формуле (2). Предел этой
суммы преобразуем к виду
.
Возможны
следующие случаи в зависимости от
величины
:
Если
,
то
при
.
Поэтому
и ряд (10) сходится.
Если
,
то
при
.
Поэтому
и ряд (10) расходится.
Пусть
.Тогда
при
ряд (10) примет вид
.
Для него
и
,
т.е. ряд (10) расходится. При
ряд (10) примет вид
.
Для него
при чётном
и
при нечётном
.
Следовательно,
не существует; ряд (10) расходится.
Можно
сделать вывод, что геометрический ряд
сходится при
и расходится при
.
В
связи с введением суммы ряда всякое
действительное число
,
представленное в виде бесконечной
десятичной дроби
,можно
понимать как сумму ряда
,частичными
суммами которого являются десятичные
приближения
этого
числа
по недостатку.
Сказанное
позволит представлять в виде обыкновенных
дробей бесконечные десятичные
периодические дроби. При этом будет
применена формула 
(11)
нахождения суммы
геометрического ряда.
Числовой
ряд с общим членом
называется гармоническим
и имеет вид
.Каждый
член этого ряда, начиная со второго,
представляет собой среднее гармоническое
двух соседних его членов. Число C
называется средним гармоническим чисел
a
и b,
если выполняется равенство
.
Так
как его
-я
частичная сумма
представима
в виде
(4)при этом
),
то
и, следовательно, этот ряд расходится.
Ввиду того, что доказательство равенства
(4) трудное, приведём более простое
доказательство расходимости ряда
.
Сначала получим некоторое вспомогательное неравенство. Так как
,
,
то
разность
имеет вид
.Заменив
в этом равенстве, содержащем n
слагаемых, каждое слагаемое наименьшим,
равным
,
получим вспомогательное неравенство
или
.
Предположим
противное, т.е. что гармонический ряд
сходится. Тогда
.
Переходя к пределу в последнем
неравенстве, получим, что
или
.
Получили противоречие. Следовательно, предположение о сходимости гармонического ряда неверно, т.е. гармонический ряд расходится.
Ряд вида
, (13)
где
– любое вещественное число, называется
обобщённым
гармоническим рядом.
Он сходится при
,
расходится при
.
Это будет установлено в дальнейшем.
При
ряд (13) является гармоническим и,
следовательно, расходится.
27. Необходимые условия сходимости ряда
Теорема
1.
Если ряд
(6)
сходится, то
.(14)Доказательство.
Так как ряд (6) по условию теоремы
сходится, то
.
Очевидно, что
(
пробегает ту же последовательность
чисел, что и
).
Так как
,то
при
имеем равенство
.
Переходя
в этом равенстве к пределу, получим
,
что и требовалось доказать.
Обратная
теорема к теореме 1, вообще говоря,
неверна. Условие (14) есть лишь необходимое
условие сходимости ряда, но не является
достаточным. Из того, что выполняется
(14), не следует, что ряд сходится. При
выполнении условия (14) ряд может как
сходиться, так и расходиться. Примером
расходящегося ряда, для которого
выполнено условие (14), является
рассмотренный в предыдущем пункте
гармонический ряд
(12) (очевидно, что
).
У сходящихся рядов, рассмотренных ранее, необходимое условие их сходимости было выполнено.
С
другой стороны, если условие (14) не
выполнено (
или этот предел не существует), то ряд
расходится.
К
расходящимся рядам относятся, например,
ряды со следующими общими членами:
,
,
,
,
.
При
обобщённый гармонический ряд (13)
расходится, так как при любых таких
его общий член
не стремится к нулю.
Рассмотрим
обобщённый гармонический ряд (13) при
,
т.е. ряд
.
Необходимое
условие (14) выполнено, т.к.
.
Для его n-й
частичной суммы, начиная со второй,
выполняется неравенство
,
из которого следует, что увеличивается до бесконечности вместе с увеличением номера . Согласно определению 3 данный ряд расходится, хотя необходимое условие сходимости выполнено.
По
аналогии с этим простым случаем
докажем, что ряд
(13) расходится при всех
,
удовлетворяющих двойному неравенству
.
Отметим, что для таких
необходимое условие (14) выполнено.
Так как все члены частичной суммы
этого
ряда не меньше чем
и она состоит из
членов,
то
.
Перейдём
к пределу в этом неравенстве с учётом
того, что при
число
.
Получим следующее:
.Следовательно,
;
ряд (13) при таких
расходится.