
- •1. Первообразная и ее свойства
- •3. Таблица интегралов.
- •2.Неопределенный интеграл и его свойства
- •4.Замена переменной в неопределенном интеграле
- •5. Интегрирование по частям в не опред. Интеграле
- •6. Интегрирование выраж содержащ квадратный трехчлен
- •7.Интегрирование простых правильных дробей
- •9.Интегрирование некоторых классов иррац функций
- •10.Интегрирование тригонометрических выражений
- •11. Определение определенного интеграла и его св-ва
- •12. Интеграл с переменным верхним пределом;производная по верхнему пределу
- •13.Формула Ньютона-Лейбница
- •14.Замена переменной в определенном интеграле
- •15.Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •16.Геометрические приложения определенного интеграла
- •17.Несобственные интегралы по бесконечному промежутку интегрир от непрерывных функций.
- •18.Несобственные интегралы по конечному промежутку интегрирования от неограниченных функций.
- •19. Диффер уравн: опред, решение уравн, задача Коши, общ и частн решения, геом смысл решений
- •20.Диффер уравнен первого порядка с разделенными и разделяющ переменными
- •21.Лин диффер уравнения 1го порядка(методы Бернулли и Лагранжа, их решения)
- •22.Лин диффер уравн 2го порядка с пост коэфф, структура их общ решения
- •23. Структура решения лин неоднор дифф уравн 2го порядка
- •24.Нахождение частных реш лин неоднор диффер уравн 2го порядка с пост коэфф по виду правой части
- •25. Числовой ряд и его сумма; сход и расход ряды
- •26. Геометрический и гармонический ряды
- •27. Необходимые условия сходимости ряда
- •28.Полож ряды; признаки сравнен их сходимости
- •29.Предельный признак Даламбера
- •30.Предельный признак Коши
- •31.Интегральный признак Маклорена-Коши
- •32.Знакоперемен ряды, абсол и условная сходимости
- •33.Теорема Коши об абсол сход знакоперем ряда
- •34.Признак Лейбница знакочеред рядов
- •35.Теорема Абеля сходимости степенного ряда
- •36.Радиус сходим степенного ряда и его нахождение
- •37. Понятие о рядах Тейлора и Маклорена
- •39.Разложение в ряд Маклорена ф-ции cos X, sin X
29.Предельный признак Даламбера
Пусть
в случае строго положительного ряда
существует предел
.
(29) Тогда при
ряд сходится; при
ряд расходится;
при
ряд может как сходиться , так и расходиться
(признак ответа не даёт).
Доказательство. Условие (29) по определению предела последовательности означает следующее: для любого найдётся такой номер N, что для всех будут выполнены неравенства
.
Действительно, в этом случае в силу
произвольности числа
его можно выбрать таким, чтобы выполнялось
неравенство
( за положительное число
можно взять любое число, меньшее чем
).
Следовательно, по теореме 5 ряд сходится.
Если
,
то, взяв
,
получим, что
.
Тогда для
будет выполнено неравенство
ряд расходится.
Покажем,
что при
ряд может как сходиться, так и расходиться.
Приведём по этому случаю примеры. Так,
для гармонического ряда
имеем, что
.Рассмотрим
теперь ряд с общим членом
.
И в этом случае
:
.Но
гармонический ряд расходится, а ряд
сходится.
Признак
Даламбера целесообразно применять,
когда общий член ряда содержит выражения
видов
,
.
30.Предельный признак Коши
Пусть для положительного ряда (22) существует предел
.
(32)Тогда при
ряд сходится;
при
ряд расходится; при
возможны как сходимость, так и расходимость
ряда.
Доказательство. На основании определения предела последовательности условие (32) означает следующее: для любого найдётся такой номер N, что для всех будут выполнены неравенства
.
надо установить, что
и
.Вычислим
только первый из этих пределов, так как
второй получится из первого на основании
равенства
.
Для вычисления первого предела
(неопределённость вида
)
рассмотрим выражение
с непрерывной переменной
.
Прологарифмируем это выражение и
докажем, что
.
Действительно,
.
Для вычисления последнего предела
(неопределённость
)
применим правило Лопиталя:
.
Так
как
,
то
.
Теорема доказана.
31.Интегральный признак Маклорена-Коши
Пусть
заданная на промежутке
функция f(x)
непрерывна, неотрицательна и не
возрастает. Пусть положительный числовой
ряд имеет форму
,
(34)т.е. члены ряда удовлетворяют условию
.
Тогда для сходимости ряда (1.34) необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл
.
(35)Доказательство.
В силу монотонности функции
на любом отрезке
справедливы неравенства
.
Так
как
,
– постоянные числа и
,
то, интегрируя эти неравенства по
отрезку
,
из свойств неопределённого интеграла
получим
.
(36)Неравенства (36) позволяют обратиться
к признаку сравнения (теорема 3) для
следующих рядов:
(37)
,
(38)
.
(39)
Рассмотрим ряд (39). Его n-й частичной суммой будет
.Так
как
,
сходимость ряда (39) означает сходимость
несобственного интеграла (35).
Если
ряд (37) сходится, то по признаку сравнения
рядов в силу первого неравенства из
(36)
будет сходиться ряд (39) и, следовательно,
несобственный интеграл (35). Первая часть
теоремы доказана, т.е. установлено
необходимое условие сходимости.
Пусть
сходится несобственный интеграл (35). В
силу ранее отмеченного будет сходиться
и ряд (39), общий член которого имеет вид
.
Тогда на основании признака сравнения
рядов в силу второго из (36) неравенства
будет сходиться ряд с меньшими членами,
т.е. ряд (38). Поскольку ряд (37) отличается
от ряда (38) только первым членом
,
то на основании замечания 4 будет
сходиться и ряд (37), т.е. исходный ряд
(34). Достаточное условие установлено.
Теорема доказана.
Теорема 8 означает, что ряд (34) и несобственный интеграл (35) одновременно сходятся или расходятся.