Приращение функции

Понятие приращения аргумента и приращения функции.

Пусть x – произвольная точка, ледащая в некоторой окрестности фиксированной точки x₀. разность x – x₀ называется приращение независимой переменной ( или приращением аргумента) в точке x₀ и обозначается Δx. Таким образом, 

Δx = x –x₀,

откуда следует, что

x = x₀ + Δx.

Говорят также, что первоначальное значение аргумента x₀ получило приращение Δx. Вследствие этого значение функции f изменится на величину 

f(x) – f(x₀) = f (x₀ +Δx) – f(x₀).

Эта разность называется приращением функции f в точке x₀, соответствующим приращению Δx, и обозначается символом Δf (читается «дельта эф»), т.е. по определению 

Δf = f (x₀ + Δx) – f (x₀),

откуда 

f (x) = f (x₀ +Δx) = f (x₀) + Δf.

При фиксированном x0 приращение Δf есть функция от Δx. Δf называют также приращение зависимой переменной и обозначают через Δy для функции y = f(x) .

Определение непрерывной в точке функции через приращение.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если существует lim_x → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке:

lim x → x0  f(x) = f(x0),

(1)

т.е.

" O( f(x0) )     $ O(x0) :     x О O(x0) Ю f(x) О O( f(x0) ) .

Производная функции одной переменной

Определение производной функции в точке.

Пусть в некоторой окрестности точки   определена функция   Производной функции   в точке   называется предел, если он существует,

Геометрический смысл производной и дифференциала.

Если функция у = f(x) дифференцируема в точке x₀, то ее производная в этой точке равна тангенсу угла наклона касательной к оси Ох, а дифференциал равен приращению ординаты касательной

f'(x₀) = tg a.

Уравнения касательной и нормали к графику функции.

Уравнение касательной имеет вид: У = f'(x₀) • (x - x₀) + f(x₀) Если функция у = f(x) имеет в точке x₀бесконечную производную, то ее касательной является вертикальная прямая х = х₀. Под нормалью к кривой понимается прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания. Если f'(x₀)   0, то уравнение нормали имеет вид:

Понятие дифференцируемости функции в точке.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение Δy в точке x0 может быть представлено в виде: Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx, где A -- некоторое число, независящее от Δx, а α(Δx)-- бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е. limΔx→0α(Δx)=0.

Теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости .

Теорема Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную. Доказательство  Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке x0, т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx. Разделив обе части данного равенства на Δx, получим: ΔxΔy=A+α(Δx). Из определения производной функции в точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.

Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x0 и y/(x0)=A. Достаточность. Пусть существует конечная производная y/(x0)∈R . Покажем дифференцируемость функции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.

Если функция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0 , то ее можно представить: f(x)=b+α(x) (α(x)→0) . Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx), где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0) . Теорема доказана.

Связь свойств дифференцируемости и непрерывности .

Если функция y=y(x) дифференцируема в точке x0, то она и непрерывна в этой точке. Справедливость утверждения следует из Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx и limΔx→0Δy=0, а по определению функция непрерывна, если малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции.  Обратное утверждение не верно.

Например, функция y=∣x∣  непрерывна в точкеx=0, но не дифференцируема в этой точке.  Таким образом, не всякая непрерывная функция дифференцируема, а любая дифференцируемая функция непрерывна.

Дифференциал функции. Физический смысл производной.

Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

  Обозначается dy или df(x)

Производная функции пути по времени есть мгновенная скорость материальной точки в момент времени х:

v(x) = f'(x).

Поскольку dy = f'(x)dx = v(x)dx, то дифференциал функции пути равен расстоянию, которое прошла бы точка за бесконечно малый промежуток времени dx, если бы она двигалась равномерно со скоростью, равной величине мгновенной скорости в момент времени х. Вторая производная функции пройденного пути также имеет простой смысл - это мгновенное ускорение точки в данный момент времени

a(x)=v'(x) = f"(x).

Производная суммы, разности, произведения и частного функций (все с доказательством кроме последнего).

Производная суммы (разности) функций

Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой.

Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

Производная произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и

Производная произведения двух функций не равана произведению производных этих функций.

Производная частного функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле

Производная сложной функции .

"Двухслойная" сложная функция записывается в виде

где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.  Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция   также дифференцируема по x и ее производная равна

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! 

Определение логарифмической производной функции.

Логарифмической производной функции y=f(x) называется производная ее логарифма.   тогда производная функции y=f(x) может быть найдена так: