Горизонтальная таблица

xi	yi	yi	2yi	3yi	4yi	5yi
x0	y0	y0	2y0	3y0	4y0	5y0
x1	y1	y1	2y1	3y1	4y1
x2	y2	y2	2y2	3y2
x3	y3	y3	2y3
x4	y4	y4
x5	y5

Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть для функции y = f (x) заданы значения y_i = f(x_i) для равностоящих значений независимых переменных:

x_n = x₀ +nh, где h - шаг интерполяции.

Необходимо найти полином P_n (x) степени не выше n, принимающий в точках (узлах) x_i значения:

Pn (xi ) = yi ,                         i=0,...,n.

(5.12)

Интерполирующий полином ищется в виде:

(5.13)

Задача построения многочлена сводится к определению коэффициентов аi из условий:

Pn(x0)=y0, Pn(x1)=y1, .      .       .       . Pn(xn)=yn.

(5.14)

Полагаем в (5.13) x = x₀, тогда, т.к. второе, третье и другие слагаемые равны 0,

P_n(x₀) = y₀ = a₀; a₀=y₀.

Найдем коэффициент а₁.

При x = x₁ получим:

P_n (x₁) = y₁ = y₀ +a₁(x₁-x₀);

y₁ = y₀ +a₁(x₁-x₀),

= .

Для определения а₂, составим конечную разность второго порядка.

При x = x₂ получим:

P_n(x₂) = y₂ = y₀+ (x₂ - x₀)+a₂(x₂-x₀)(x₂-x₁) = y₀+2 y₀+a₂2h²,

a₂ = = = = = = .

Аналогично можно найти другие коэффициенты. Общая формула имеет вид.

                                    (5.15)

Подставляя эти выражения в формулу (5.13), получаем:

                      (5.16)

где x_i , y_i - узлы интерполяции; x - текущая переменная; h - разность между

двумя узлами интерполяции h - величина постоянная, т.е. узлы интерполяции равноотстоят друг от друга.

Этот многочлен называют интерполяционным полиномом Ньютона для интерполяции в начале таблицы (интерполирование «вперед») или первым полиномом Ньютона.

Для практического использования этот полином записывают в преобразованном виде, вводя обозначение t=(x-x₀)/h, тогда

.

(5.17)

Эта формула применима для вычисления значений функции для значений аргументов, близких к началу интервала интерполирования.

Блок-схема алгоритма метода Ньютона для интерполирования «вперед» приведена на рис. 5.3, программа - в Приложении.

Рис. 5.3. Блок-схема Ньютона для интерполирования "вперед"

Пример 5.3. Дана таблица значений теплоёмкости вещества в зависимости от температуры Cр =f(T).

Таблица 5.3

x (T)	300	400	500	600
Y (Cp)	52.88	65.61	78.07	99.24

Построить интерполяционный многочлен Ньютона для заданных значений функции.

n=3; h=100.

Составим таблицу конечных разностей функции.

Таблица 5.4

x	y	y	2y	3y
300	52.88	12.73	-0.27	8.98
400	65.61	12.46	8.71
500	78.07	21.17
600	99.24

Воспользуемся формулой (5.16):

После выполнения преобразований получим интерполяционный многочлен вида:

Полином имеет третью степень и дает возможность вычисления при помощи найденной формулы значения y для неизвестного x .

Пример 5.4.

В табл. (5.3) приведены значения теплоемкости в зависимости от температуры. Определить значение теплоёмкости в точке Т=450, К.

Воспользуемся первой интерполяционной формулой Ньютона. Конечные разности рассчитаны в предыдущем примере, табл. 5.4, запишем интерполяционный многочлен при x=450 К.

Таким образом, теплоемкость при температуре 450 К будет

Ср(450)=71,31Дж/(моль ^. К).

Значение теплоемкости при Т=450 К получили такое же, что и рассчитанное по формуле Лагранжа.

Вторая интерполяционная формула Ньютона

Для нахождения значений функций в точках, расположенных в конце интервала интерполирования, используют второй интерполяционный полином Ньютона.

Запишем интерполяционный многочлен в виде

                  (5.18)

Коэффициенты а₀,а₁,..., а_n определяем из условия:

P_n (x_i ) = y_i , i=0,...n.

Полагаем в (5.18 ) x = x_n , тогда

Полагаем x=x_n-1, тогда

P_n(x_n-1)=y_n-1=y_n+a₁(x_n-1-x_n) , h=x_n-x_n-1 ,

следовательно,

.

Если x=x_n-2 , то

.

Аналогично можно найти другие коэффициенты многочлена (5.18).

, .................................. .

(5.19)

Подставляя эти выражения в формулу (5.18), получим вторую интерполяционную формулу Ньютона или многочлен Ньютона для интерполирования «назад».

(5.20)

Введем обозначения:

или ,

Произведя замену в (5.19 ) , получим

.

(5.21)

Это вторая формула Ньютона для интерполирования «назад».

Пример 5.5.

Вычислить теплоемкость (табл. 5.3) для температуры Т=550,К.

Воспользуемся второй формулой Ньютона (5.19) и соответствующими

конечными разностями (табл.5.4)

Следовательно, значение теплоемкости при температуре 550 К равно:

Ср(550)=97,01Дж/(моль *К).