2. Основные уравнения четырехполюсников
П
ринято
условно изображать четырехполюсники
так, как это показано на рис. 3.1. Это
«проходной» четырехполюсник. В нем
электрическая энергия передается слева
направо. Одну пару выводов называют
первичной
(входной),
а другую – вторичной
(выходной)
и обозначают соответственно 1–1
и 2–2.
Входной ток обозначают
,
входное напряжение –
,
ток и напряжение на выходе –
и
.
Четырехполюсник является передаточным
звеном между источником питания и
нагрузкой. К выводам 1–1,
как правило, присоединяется источник
питания; к выводам 2–2
– нагрузка.
З
ависимости
между двумя напряжениями и двумя токами,
определяющими режим на первичных и
вторичных выводах, могут быть записаны
в различной форме. Если считать две из
указанных величин заданными, то две
другие величины будут связаны с ними
системой двух уравнений, которые
называются уравнениями
четырехполюсника.
Пусть схема четырехполюсника содержит n независимых контуров. В качестве первого (рис. 3.2) выберем контур, включающий в себя источник энергии на зажимах 1–1, в качестве второго – контур, включающий в себя приемник, присоединенный к зажимам 2–2. Будем рассматривать напряжение на входных зажимах четырехполюсника как входное напряжение. Такое включение принято называть прямым.
Составим уравнения по методу контурных токов.
(3.1)
Поскольку
,
то, перенеся величину
в правую часть второго уравнения,
приведем систему уравнений к виду
(3.2)
Учитывая, что правые части всех уравнений, кроме первых двух, равны нулю, получим на основании принципа наложения следующее решение
(3.3)
Коэффициенты в (3.3) имеют размерность проводимости, введем соответствующие обозначения
.
Тогда уравнения четырехполюсника, записанные в Y-форме, связывающие токи с напряжениями, имеют вид
(3.4)
Полученные
соотношения в матричной форме имеют
вид:
.
Для
линейной пассивной цепи
,
а следовательно,
.
Из четырех Y-параметров
независимых три, т.к.
Решив
(3.4) относительно напряжений
и
,
получим уравнения четырехполюсника,
записанные в Z-форме,
связывающие напряжения и токи
(3.5)
где
(3.6)
при
этом
.
Из четырех Z–параметров независимых три.
Уравнение
(3.5) в матричной форме:
.
Наиболее распространенной формой записи уравнений четырехполюсника является такая, при которой входные ток и напряжение выражаются через выходные напряжение и ток. Из уравнений (3.3) можно записать
. (3.7)
Подставим (3.7) в первое уравнение (3.3)
(3.8)
Введем обозначения
– величина
безразмерная;
– величина,
измеряемая в омах;
– величина,
измеряемая в сименсах;
– величина
безразмерная.
При этом будут справедливы соотношения
(3.9)
В матричной форме эти уравнения имеют вид
Уравнения (3.9) называют уравнения четырехполюсника в А-параметрах. Учитывая, что , можно показать, что определитель матрицы А равен единице:
(3.10)
Итак:
Из
этого соотношения следует, что для
определения
и
достаточно знать только три коэффициента
из четырех, т.е. среди А–параметров
только три независимые, аналогично для
Z–,
Y–
форм.
Таким образом, зная, что Y, Z, A – параметры зависят от параметров элементов и конфигурации схемы четырехполюсника, можно сформулировать связь вход–выход, не прибегая к расчету токов и напряжений во внутренней части четырехполюсника, которая может представлять собой весьма сложную электрическую цепь.
Имеются и другие соотношения, связывающие в смешанной форме токи и напряжения на входе и выходе четырехполюсника. Приведем без вывода уравнения четырехполюсника в H – и G – параметрах:
.
Все параметры в общем случае – комплексные числа.