Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matan_2.docx

Скачиваний:

Добавлен:

27.09.2019

Размер:

439.3 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

26 27.Определенный интеграл римана, интегральная сумма, геом интерпритация, свойства

Пусть действительная функция f(x) одного переменного x определена на отрезке [a, b]. Если существует предел I интегральных сумм Римана где k=1,…,n, при max∆a→0 (т.е. для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что при max∆a<δ верно неравенство | S –I | < ε), то I называют определённым интегралом Римана от функции f по отрезку [a, b] и обозначают

Необходимым и достаточным условием интегрируемости f(x) на [a, b] в смысле Римана является ограниченность f(x) на [a, b] и равенство нулю меры Лебега множества всех точек разрыва f(x) на [a, b].

По определению полагают, что а при a>b

Свойства интеграла Римана.

1) Линейность: из интегрируемости на [a, b] каждой из функций f(x) и g(x) следует, что для любых чисел α и β функция (α f(x) + βg(x)) интегрируема на [a, b] и выполняется равенство

2) Из интегрируемости на [a, b] каждой из функций f(x) и g(x) следует интегрируемость на [a, b] их произведения f(x)g(x).

3) Из интегрируемости на отрезке [a, b] функции f(x) следует её интегрируемость на любом подотрезке

4) Аддитивность: из интегрируемости функции f(x) на каждом из отрезков [a, b] и [b, c] следует её интегрируемость на [a, c] и равенство

5) Если функция f(x) интегрируема на [a, b] и все её значения принадлежат отрезку [A, B], а функция φ(x) непрерывна на [A, B], то сложная функция φ(f(x)) интегрируема на [a, b].

6) Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b] и f(x) ≥ g(x) всюду на [a, b], то

7) Из интегрируемости функции f(x) на [a, b] следует интегрируемость на [a, b] функции |f(x)| и оценка

Рассмотрим функцию y = f(x), которая определена на отрезке [a; b]. Разобьем отрезок [a; b] на n частей точками . Обозначим , а точки будем выбирать так, чтобы при . Внутри каждого отрезка выберем точку . При озвученных условиях существует множество способов выбора точек и . Интегральной суммой функции y = f(x) для данного разбиения отрезка [a; b] и данного выбора точек называют выражение

Для конкретного разбиения отрезка [a; b] и выбора точек мы получим свою интегральную сумму. То есть, мы имеем множество интегральных сумм для различных вариантов выбора и .

Число называется пределом интегральных сумм при , если для любого сколь угодно малого положительного ипсилон существует такое сколь угодно малое положительное, зависящее от ипсилон, дельта , что как только , то при любом выборе точек справедливо неравенство .

Функция y = f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b], если существует конечный предел ее интегральных сумм при , это значение предела называют определенным интегралом Римана и обозначают . Числа a и b называются нижним и верхним пределом интегрирования соответственно, f(x) называется подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования. Значение определенного интеграла не зависит от переменной интегрирования, то есть,

Теорема о среднем

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существует такая точка , что

Доказательство. Заметим для начала, что функция интегрируема на , так что интеграл в левой части доказываемого равенства существует. Поскольку функция, непрерывная на отрезке, принимает на нём в некоторых точках и своё наименьшее и наибольшее значения и , то при всех . Согласно неравенству (3.4), величина удовлетворяет неравенству

и, следовательно, является промежуточным значением между и . Но непрерывная функция принимает любое своё промежуточное значение в некоторой точке отрезка, значит, существует такая точка , что

Умножая последнее равенство на , получаем утверждение теоремы.

28 Определённый интеграл с переменным верхним пределом

Пусть f(x) – непрерывная на отрезке [a, b] функция, а F(x) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл

(47)

где

а через t обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х, которую обозначим через Ф(х), т.е.

(48)

Докажем, что функция Ф(х) является первообразной для f(x) = f(t). Действительно, дифференцируя Ф(х), получим

так как F(x) – первообразная для f(x), а F(a) – постояная величина.

Функция Ф(х) – одна из бесконечного множества первообразных для f(x), а именно та, которая при x = aобращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = aи воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

теорема: производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом:

Доказательство. По определению производной

где [первый интеграл представим в виде суммы двух интегралов, пользуясь свойством аддитивности]= [по теореме о среднем]= где

Тогда следует из определения непрерывной функции, т.к. при . Таким образом,

Это значит, что интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для функции .

29 Формула Ньютона–Лейбница

Теорема. Если – какая–либо первообразная для непрерывной функции , то

Доказательство. Пусть –некоторая первообразная функции . Но – также первообразная для , а любые две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то есть можно записать:

(4)

Это равенство справедливо для любых . Положим : Но , поэтому , . Полагая в (4) x=b и подставляя значение C, получим Переобозначив переменную интегрирования , получим формулу Ньютона – Лейбница: