26.2. Формула Тейлора для произвольной функции

Рассмотрим функцию у=ƒ(х). Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию ƒ(х) в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.

Теорема 26.1. Если функция ƒ(х) определена в некоторой окрестности точки х₀ и имеет в ней производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка сє(х₀;х) такая, что справедлива формула

Формула (26.3) называется формулой Тейлора для функции ƒ(х). Эту формулу можно записать в виде ƒ(х)=Р_n(х)+R_n(x), где

называется многочленом Тейлора, а

называется остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа. R_n(х) есть погрешность приближенного равенства ƒ(х)≈Р_n(х). Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию у=ƒ(х) многочленом у=Р_n(х) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена R_n(x).

При х₀=0 получаем частный случай формулы Тейлора — формулу Маклорена:

где с находится между 0 и х (с=θx, 0<θ<1).

При n=0 формула Тейлора (26.3) имеет вид ƒ(х)=ƒ(х₀)+ƒ'(с)(х-х₀) или ƒ(х)-ƒ(х₀)=ƒ'(с)(х-x₀), т. е. совпадает с формулой Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для приближенных вычислений ƒ(х)≈ƒ(х₀)+ƒ'(х₀)(х-х₀) (см. «дифференциал функции») является частным случаем более точной формулы

<< Пример 26.2

Найти число е с точностью до 0,001.

Решение: Запишем формулу Маклорена для функции ƒ(х)=е^х. Находим производные этой функции: ƒ'(х)=е^х, ƒ"(х)=е^х, ..., ƒ⁽ⁿ⁺¹⁾(х)=е^х. Так как ƒ(0)=е⁰= , ƒ'(0)=е⁰=1, ..., ƒ⁽ⁿ⁾(0)=1, ƒ⁽ⁿ⁺¹⁾(с)=е^с, то по формуле (26.4) имеем:

Положим х=1:

 

Для нахождения е с точностью 0,001 определим n из условия, что остаточный член

меньше 0,001. Так как 0<с<1, то е^с<3.

Поэтому при n=6 имеем

Итак, получаем приближенное равенство

т.е.е≈2,718.

Приведем разложения по формуле Маклорена некоторых других элементарных функций:

23.Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства

Определение первообразной. Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка. Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину. Определение неопределенного интеграла. Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается . Выражение называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x). Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C. На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

1. Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

2. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3. , где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4. Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения. Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств: Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.

24методы вычисления определенных интегралов

Замена переменных в определенном интеграле. Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b]. Множество [a; b] является областью значений некоторой функции x = g(z), которая определена на интервале и имеет на нем непрерывную производную, причем и , тогда . Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда нам требуется вычислить интеграл , причем неопределенный интеграл мы бы искали методом подстановки. Разберем на примере для ясности. Пример.

Вычислить значение определенного интеграла . Решение. Подынтегральная функция непрерывна на отрезке, следовательно, определенный интеграл существует.

Обозначим . При x = 9 имеем , а при x = 18 имеем , то есть, . Подставляем полученные результаты в формулу :

Из таблицы неопределенных интегралов видно, что одной из первообразных функции является , поэтому, по формуле Ньютона-Лейбница Можно было обойтись и без формулы . Если методом замены переменной взять неопределенный интеграл , то мы придем к результату . Таким образом, по формуле Ньютона-Лейбница

Как видите, результаты совпадают. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Пусть на отрезке [a; b] определены и непрерывны функции u(x) и v(x) вместе со своими производными первого порядка и функция – интегрируема, тогда на этом отрезке интегрируема функция и справедливо равенство . Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда нам требуется вычислить интеграл , причем неопределенный интеграл мы бы искали интегрированием по частям. Пример. Вычислить определенный интеграл . Решение. Функция является интегрируемой на отрезке в силу своей непрерывности. Пусть u(x) = x, а , тогда , а . По формуле получаем