
- •1. Первообразная и ее свойства.
- •2. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Свойства неопределённого интеграла
- •3.Таблица интегралов.
- •4.Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •5.Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
- •6,Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
- •7.Интегрирование простых правильных дробей. Интегрирование простейших рациональных дробей.
- •8.Разложение рациональных дробей на простейшие, интегрирование рациональных функций.
- •9.Интегрирование некоторых классов иррациональных функций.
- •10.Интегрирование тригонометрических функций.
- •11.Определение определенного интеграла и его свойства.
- •12.Интеграл с переменным верхним пределом.
- •13.Формула Ньютона-Лейбница.
- •14.Замена переменной в определенном интеграле.
- •15.Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •16.Геометрические приложения определенного интеграла.
- •17.Несобственные интегралы по бесконечному промежутку интегрирования от непрерывных функций.
- •18.Несобственные интегралы по конечному промежутку интегрирования от неограниченных функций.
- •19.Дифференциальные уравнения.
- •20.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными.
- •21.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •22.Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, структура их общего решения.
- •23.Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.
- •24.Нахождение частных решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части.
- •25.Числовой ряд и его сумма; сходящиеся и расходящиеся ряды.
- •26.Геометрический и гармонические ряды.
- •27.Необходимое условие сходимости ряда.
- •28.Положительные ряды; признаки сравнения их сходимости.
- •29.Предельный признак Даламбера.
- •30.Предельный признак Коши.
- •31.Интегральный признак Маклорена -Коши.
- •32.Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость.
- •33.Теорема Коши об абсолютной сходимости знакопеременного ряда.
- •34.Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
- •35. Теорема Абеля сходимости степенного ряда.
- •36. Радиус сходимости степенного ряда и его нахождение.
- •37. Понятие о рядах Тейлора и Маклорена.
- •39. Разложение в ряд Маклорена функции.
34.Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
Теорема
(признак Лейбница).
Если члены знакочередующегося ряда
монотонно убывают по абсолютной величине
(
для всех
)
и стремятся к нулю (
при
),
то ряд сходится.
Доказательство.
Согласно определению 3 нужно доказать,
что
.
Это равенство будет доказано, если его
установим как при чётном
,
так и при нечётном
;
при этом
.
Рассмотрим
сначала чётную частичную сумму, т.е.
сумму
первых членов ряда. Очевидно, что её
можно записать в виде
.
Из
условия теоремы
следует, что все выражения в скобках
этой суммы положительны. Следовательно,
сама эта сумма положительна
.
С возрастанием номера
эта сумма увеличится, т.к. добавится ещё
одно положительное слагаемое. Теперь
эту сумму запишем так:
.
В
этой записи все выражения в скобках
положительны и
.
Таким образом,
получается вычитанием из
некоторого количества положительных
чисел. Следовательно,
при любом
.
Таким
образом, установлено, что последовательность
чётных частичных сумм ряда возрастает
и ограничена сверху. По признаку
существования предела монотонной
последовательности она имеет конечный
предел, который обозначим
:
.
Проверим
теперь, что и частичные сумы с нечётными
номерами сходятся к тому же числу
.
Очевидно, что для таких сумм справедливо
равенство
.
Перейдём в этом равенстве к пределу,
когда
.
Так как по условию теоремы
,
то получим следующее:
.
Объединяя
результаты
,
можно записать
,
т.е. ряд сходится. Теорема доказана.
Ряд
получается из ряда
умножением
его на
.
Тогда при выполнении условий теоремы
9
этот ряд также сходится.
Знакочередующиеся
ряды при выполнении двух условий признака
Лейбница (
для всех
,
)
называют рядами
лейбницевского типа.
Как только что было установлено, любой
ряд лейбницевского типа сходится.
35. Теорема Абеля сходимости степенного ряда.
Для
степенного ряда
(1)
имеют
место следующие утверждения:
1)
если степенной ряд (1)
сходится при
,
то он сходится (притом абсолютно) при
всех
таких, что
;
2)
если ряд расходится при
,
то он расходится при всех
,
для которых
.
Доказательство.
1. По условию теоремы числовой ряд
сходится. Следовательно, по необходимому
признаку сходимости
.
Отсюда следует, что сходящаяся числовая
последовательность
ограничена, т.е. найдётся такое число
,
что для всех
будет выполняться неравенство
.
Пусть
,
тогда величина
и, следовательно,
,
т.е. модуль каждого члена ряда (1)
не превосходит соответствующего члена
сходящегося геометрического ряда
.
Поэтому (по первому признаку сравнения)
будет сходиться ряд
.
Следовательно, при
ряд (1)
сходится абсолютно.
2.
Дано, что ряд расходится в точке
;
нужно доказать, что он расходится для
всех
,
удовлетворяющих неравенству
.
Предположим противное: при некотором
,
удовлетворяющем неравенству
,
степенной ряд сходится. Тогда по первой
части теоремы Абеля ряд будет сходиться
при всех
,
для которых
,
и, в частности, в точке
,
что противоречит условию теоремы.
Теорема полностью доказана.
С геометрической точки зрения в теореме Абеля утверждается следующее:
1)
если ряд (1)
сходится в точке
,
то он абсолютно сходится на интервале
;
2
)
если ряд (1)
расходится в точке
,
то он расходится на луче
,
лежащем левее точки
,
и на луче
,
лежащем правее точки
:
Для
области сходимости степенного ряда (1)
возможны следующие ситуации: 1) ряд
сходится только в одной точке
(в этой точке сходится всякий степенной
ряд (1));
2) ряд сходится на всей числовой оси; 3)
ряд сходится не на всей числовой оси,
но и не только в одной точке
.