
- •1. Первообразная и ее свойства.
- •2. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Свойства неопределённого интеграла
- •3.Таблица интегралов.
- •4.Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •5.Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
- •6,Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
- •7.Интегрирование простых правильных дробей. Интегрирование простейших рациональных дробей.
- •8.Разложение рациональных дробей на простейшие, интегрирование рациональных функций.
- •9.Интегрирование некоторых классов иррациональных функций.
- •10.Интегрирование тригонометрических функций.
- •11.Определение определенного интеграла и его свойства.
- •12.Интеграл с переменным верхним пределом.
- •13.Формула Ньютона-Лейбница.
- •14.Замена переменной в определенном интеграле.
- •15.Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •16.Геометрические приложения определенного интеграла.
- •17.Несобственные интегралы по бесконечному промежутку интегрирования от непрерывных функций.
- •18.Несобственные интегралы по конечному промежутку интегрирования от неограниченных функций.
- •19.Дифференциальные уравнения.
- •20.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными.
- •21.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •22.Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, структура их общего решения.
- •23.Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.
- •24.Нахождение частных решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части.
- •25.Числовой ряд и его сумма; сходящиеся и расходящиеся ряды.
- •26.Геометрический и гармонические ряды.
- •27.Необходимое условие сходимости ряда.
- •28.Положительные ряды; признаки сравнения их сходимости.
- •29.Предельный признак Даламбера.
- •30.Предельный признак Коши.
- •31.Интегральный признак Маклорена -Коши.
- •32.Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость.
- •33.Теорема Коши об абсолютной сходимости знакопеременного ряда.
- •34.Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
- •35. Теорема Абеля сходимости степенного ряда.
- •36. Радиус сходимости степенного ряда и его нахождение.
- •37. Понятие о рядах Тейлора и Маклорена.
- •39. Разложение в ряд Маклорена функции.
1. Первообразная и ее свойства.
Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале Х, если в каждой точке этого интервала выполняется условие
F ` (x)=f(x).
Например, для функции f(x) = 2х первообразной является F(х) = х2 для любых х Є (-∞, ∞).
Действительно, F`(x) = 2x = f(x).
F1(x) = x2 + 2 так же является первообразной для f(x) = 2x, F2(x) = x2 – 100 первообразная той же функции f(x) = 2x.
Теорема. Если F1(x) и F2(x) первообразные для функции f(x) на некотором интервале Х, то найдется такое число С, что справедливо равенство:
F2(x) = F1(x) + C,
Или можно сказать так, две первообразные для одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.
Определение.
Совокупность всех первообразных для
функции f(x)
на интервале Х называется неопределенным
интегралом от функции f(x)
и обозначается
f(x)dx,
где
-
знак интеграла, f(x)
– подинтегральная функция, f(x)dx
– подинтегральное выражение. Таким
образом
f(x)dx = F(x) + C,
F(x) – некоторая первообразная для f(x), С – произвольная постоянная. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Свойства.1. Если F– первообразная для функции f, то F + С, где С – константа, также является первообразной для той же функции. Действительно, (F + С)' = F' + С ' = f + 0 = f.
2.
Если F1
и F2 –
две первообразные для одной и той же
функции f, то
они отличаются на постоянное
слагаемое.
Действительно, если F1'
= f и F2'
= f,
то (F1 -
F2)'
= F1 '
– F2'
= f - f = 0. Функция,
производная которой тождественно равна
нулю, является постоянной. Итак, F1 –
F2 =
С.
Таким
образом, все первообразные для функции f
получаются из одной из них прибавлением
к ней произвольной постоянной. Надо
помнить, что знак
является
«неопределенным» в том смысле, что он
обозначает какую-нибудь первообразную.
3.
Действительно, пусть F и G – первообразные для функций f и g соответственно. Тогда F + G является первообразной для функции f + g: (F + G)' = F' + G' =f + g.
4.
Доказывается
аналогично.
5. Линейная замена переменной.
Теорема.
Пусть F –
первообразная для функции f.
Тогда
Действительно, вычислим производную от F(kx + b): (F(kx + b))' = kF '(kx + b) = kf (kx + b). Отсюда F (kx + b) является первообразной для функции kf (kx + b).
2. Неопределенный интеграл и его свойства.
Определение. Если
функция F(x)
является первообразной для
f(x),
то выражение
F(x)+C
называется
неопределённым интегралом от функции
f(x)
и обозначается
символом
f(x)dx.
.
Таким образом,
если F
'(x)=f(x).
Выражение f(x)dx называется подынтегральным выражением, функция f(x) - подынтегральной функцией, а переменная x - переменной интегрирования. Можно сказать, что неопределённый интеграл представляет собой совокупность всех первообразных данной функции. Нахождение неопределённого интеграла (первообразной) для данной функции f(x) называется интегрированием данной функции.