- •Определение первообразной для ф-ции на промежутке .
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •На ограниченном промежутке
- •Функция нескольких переменных
- •Поверхности (линии) уровня функции нескольких переменных.
- •Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значений.
- •Частные производные функции нескольких переменных.
- •Производная сложной функции.
- •Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •Кратные интегралы и их свойства. Условия интегрируемости функции.
- •Ряды Тейлора (Маклорена).
- •Достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена.
- •109. Общее решение однородной системы линейных дифференциальных уравнений в случае существования базиса из собственных векторов.
Ряды Тейлора (Маклорена).
Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:
где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением
Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a. Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:
Достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена.
Пусть функция f(x) определена и бесконечно дифференцируема в интервале (-r,r). Если существует такая константа М, что во всех точках указанного интервала выполняются неравенства
То в этом интервале ряд Макларена сходится к функции f(х)
100. Разложение в ряд Маклорена функцийex=1+x+(x2/2!)+(x3/3!)+…+(xn/n!)+…
Sinx=x-(x3/3!)+(x5/5!)-…+(-1)n(x2n+1/(2n+1)!)+…
Cosx=1-(x2/2!)+(x4/4!)-…+(-1)n(x2n/(2n)!)
1/1+x=1-x+x2-x3+…+(-1)nxn+…(r=1)
Ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-x4/4+…+(-1)n(xn+1/n+1)
(1+x)b=1+b/1!x+(b(b-1)x2)/2!+…+(b(b-1)…(b-n+1)xn)/n!+…
101. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка в нормальной форме.Если в некоторой окрестности точки (х0;у0) ф-цияf(x,y) определенная, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f’y, то существует такая окрестность точки (х0;у0), в которой задача Коши y’=f(x,y), y(x0)=y0имеет решение, притом единственное.
102. Уравнения с разделяющимися переменными. Автономные уравнения . Одним из наиболее простых, но весьма важных типов дифференциальных уравнений являются уравнения с разделяющимися переменными. Это дифференциальные уравнения вида: y’=f(x)g(y), где f(x) и g(y) – непрерывные ф-ции.Одним из важных частных случаев дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными являются так называемые автономные уравнения. Это уравнения вида: y’=g(y).
103. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение y’+p(x)y=0 называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению y’+p(x)y=f(x).
104. Уравнения в полных дифференциалах. Диф уравнения в симметрической форме N(x,y)dx+M(x,y)dy=0, где N(x,y) и M(x,y) непрерывные в некоторой области Dф-ции, называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая непрерывно дифф-цияU(x,y), что dU= N(x,y)dx+M(x,y)dy
105. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Дифференциальное уравнение вида y’+p(x)y=f(x)yn (n≠0, n≠1) называется уравнением Бернулли.
106. Линейные дифференциальные уравнения. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского системы решений Дифференциальное уравнение n-го порядка, называется линейным. Если оно имеет вид yn+a1xyn-1+a2xyn-2+…+anxy=f(x), где a1x, a2x, …, anx, f(x) – непрерывныеф-ции.
W(y1, y2,…,yk)=|y1 y2 …. Yk|
|y’1y’2 …. Y’k|
|. . …………… |
|y1(k-1)y2(k-1) …. Yk(k-1)|
Систему уравнений y1(x),…., yn(x), состоящую из n линейно зависимых решений уравнений L(y)=0, будем называть фундаментальным набором решений этого уравнения.
107. Общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (для уравнений второго порядка). 1 случай: y=C1eλx+C2еλx2 случай: у=еах(С1cosβx+C2sinβx) 3 случай: y=eλx(C1+C2x)
108. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.y=xleax(Pm(x)cosbx+Qm(x)sinbx)