4. Импликация () “если а, то b”

Действие операции определяется следующим образом: сложное высказывание аbложно только в том случае, когда а истинно, аb– ложно.

a	b	ab
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

А называется антецедентом, а b– консеквентом.

5. Эквивалентность (~)

Действие операции определяется следующим образом: сложное высказывание а~bистинно, если а истинно иbистинно, или если а ложно иbложно.

a	b	a~b
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Эквивалентность примерно соответствует употреблению выражения «тогда и только тогда».

6. Сумма по модулю два

a	b	ab
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

7. Штрих Шеффера ( , обратная конъюнкция и – не)

a	b	ab
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

8. Стрелка Пирса (, обратная дизъюнкция или – не )

a	b	ab
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Используя эти логические операции можно строить сколь угодно сложные высказывания.

Приоритет выполнения операций:

⌐   ~

Пример:Сложное высказывание: «Если вы не пропускаете занятия и успешно занимаетесь, то Вы сдадите экзамен хорошо» можно записать следующим образом. Обозначим:

П – пропускаете занятия;

Y– успешно занимаетесь;

Х – сдадите экзамен хорошо,

тогда все высказывание запишется:

Значение истинности всего выражения будет зависеть от истинности переменных обозначающих простые высказывания.

Пример.

Пусть a=1, b=0, c=0, d=1.

Символы ⌐ ~называются пропозициональными связками,a,b,c, … и т. д. - пропозициональными переменными. Выражение, построенное из пропозициональных переменных с помощью пропозициональных связок, называется пропозициональной формой или формулой.

1.3. Булевы функции

1.3.1. Некоторые определения из теории множеств

Множество – фундаментальное неопределяемое понятие. Множество – это совокупность объектов, которые, с одной стороны, различны и отличимы друг от друга, а с другой стороны воспринимаются как единое целое.

Пусть А и В – два множества.

<a,b> - упорядоченная пара, где первый элемент, а второй элемент.

Декартово произведение - это множество пар

Бинарным отношением fиз множества А в множество В называется подмножество:

.

Функция - это такое отношение, что из иследует, чтоx=z, т. е. функциональность – это однозначность.

Пример.

А={1,2,3,4,5}

B={1,4,9,16,25}

={<1,1>, <1,4>, <1,9>, <1,16>, <1,25>, <2,1>, <2,4>, <2,9>, <2,16>, <2,25>,….<3,9>, …. ,<4,16>,…..<5,25>}

f={<1,1>, <2,4>, <3,9>, <4,16>, <5,25>} – это функция, гдеb=a².

1.3.2. Булевы функции

Функция называется функцией алгебры логики.

y=f(x₁,x₂) – бинарная функция,

y=f(x₁,x₂,….,x_n) –n- арная функция.

Пример.

Т. о. каждое элементарное высказывание может принимать значение либо 0, либо 1. Каждому набору значений a,b,cсоответствует одно значение всего сложного высказывания (0 или 1).

Булеву функцию от nпеременных можно задать таблицей истинности

x1	…..	xn-1	xn	f(x1, …,xn)
0		0	0
0		0	1
1		1	1

Переменные, которые принимают значения 0 или 1 называются булевыми переменными.

Некоторые функции всегда принимают значение 1 (на любом наборе переменных). Такие функции называются тавтологиями. Некоторые функции всегда принимают значение 0 (на любом наборе переменных). Такие функции называются противоречиями.