1.1. Свойства в случае постоянных и одинаковых предельных издержек.

Проведем анализ модели Курно в упрощенном варианте, предположив, что предельные издержки постоянны и совпадают у всех производителей, т.е. . Кроме того будем предпола­гать выполнение условий:

1. (С₁)

2. существует ,такой что(С₂)

3. функция дифференцируема и. (С₃)

Симметричность равновесия и положительность выпусков

Докажем, что объемы производства у всех олигополистов совпадают. Пусть это не так, и существуют два производителя, j и k, такие что . Запишем условия первого порядка, учиты­вая, что выпуск положителен, а может быть равен нулю:

Вычитая из второго неравенства первое, получим

Поскольку , то. Получили противоречие. Та­ким образом, объем производства у каждой фирмы в равновесии Курно одинаков: , а условия первого порядка совпадают и приобретают вид

причем неравенство заменяется на равенство, если суммарный выпуск положителен.

Если , то в равновесии Курно суммарный выпуск не может быть нулевым, поскольку, подставляя вусловия первого порядка, получаем

Существование и единственность равновесия

Таким образом, при , выпуск общий положителен и условия первого порядка имеют вид

Замечу, что существование корня этого уравнения можно гарантировать, если выполнены условия С₁-С₃ и, кроме того, функция непрерывно дифференцируема, поскольку в этих условиях непрерывная функция принимает зна­чения разных знаков на концах интервала .

Если дополнительно потребовать, чтобы функция была вогнута поу при любом у'>0, то можно утверждать, что — равновесие Курно (выполнено условие второго по­рядка).

Замечу при этом, что поскольку при сделанном предполо­жении функция вогнута, то равновесие Курно единственно, поскольку условие первого порядка выполнено в одной точке.

Действительно, функцию можно представить в виде

Первое слагаемое здесь не возрастает, а второе убывает при , поэтому функцияубывает и может быть равной нулю не более чем в одной точке.

В точке Y=0 (в которой условие первого порядка может не выполняться как равенство) равновесия быть не может, посколь­ку, как мы предположили,

Сравнение равновесия Курно с равновесиями при монополии и совершенной конкуренции

Следует отметить три характеристики равновесия Курно:

1. Объем выпуска в равновесии Курно выше, чем объем выпускапри монополии (или картеле, когда производители выбирают выпуск, максимизирующий суммарную прибыль).

2. Объем выпуска в равновесии по Курно ниже, чем объем выпуска в условиях совершенной конкуренции (ситуации, ко­гда производители рассматривают цены как данные).

3. При росте числа участников объем выпуска в равновесии Курно приближается к равновесию при совершенной конкурен­ции.

Теорема 1.

Пусть — равновесие Курно, и— равновесие при совершенной конкуренции,у — равновесие при монополии. Предположим, что выполнены условия C₁ — C₃. Тогда

Доказательство.

Как было показано выше, равновесие Курно удовлетворяет условию

Как было доказано выполнение С₁-С₃ гарантирует, что , поэтомуудовлетворяет условию перво­го порядка

С другой стороны, при совершенной конкуренции, как из­вестно, цена равна предельным издержкам:

Вычитая из третьего соотношения первое, получим:

Поскольку правая часть соотношения отрицательна, а функция убывает, то

Предположим, что . Тогда увеличение выпуска одного из производителей (например, первого) на величинупри­водит к росту суммарной прибыли (до монопольно высокой). По­скольку при этом прибыль остальных производителей может только уменьшиться, прибыль первого возрастает, что противо­речитпредположению о том, что Y* — совокупный выпуск в равновесии Курно.