2.1.3. Сравнение методов моделирования нестационарных случайных процессов с заданными корреляционными свойствами

Метод канонических разложений формально можно рассматривать как вариант метода линейного преобразования, поскольку разложения (2.9) или (2.11) при усечении членов ряда соответствуют линейному преобразованию (2.3), если учитывать только дискретные моменты времени. В этом случае оба рассмотренных метода канонических разложении можно рассматривать как способы определения элементов матрицы в (2.3). При таком сравнении этих методов для моделирования значений случайного процесса лишь в дискретные моменты времени предпочтение надо отдать методу линейных преобразований как более экономному, поскольку число ненулевых элементов матрицы может быть уменьшено в соответствии с (2.6), что позволяет экономить машинные ресурсы.

Если же необходимо моделирование для моментов времени, которые заранее неизвестны, то предпочтение надо отдать методу канонических разложений.

Общим недостатком методов линейного преобразования и канонических разложений является необходимость хранить в памяти компьютера все случайные величины и элементы матрицы или значения функций в разложении. Это предъявляет жестокие требования к памяти, особенно при увеличении . От этого недостатка свободен метод моделирования нестационарных случайных процессов с заданной корреляционной функцией, рассмотренный в [2]. Метод заключается в использовании дискретных моделей линейных нестационарных систем для формирования случайного процесса с заданными свойствами из белого шума. Если удается получить модель такой системы в виде рекурсивных фильтров, то этот подход позволяет существенно уменьшить машинные ресурсыпамять и быстродействие.

2.2. Моделирование стационарных случайных процессов с заданными корреляционными свойствами

Для стационарных процессов корреляционная функция зависит от разности аргументов:

(2.21)

Обычно рассматривается моделирование стационарных случайных процессов с нулевым средним (центрированных); в случае же, если необходимо моделировать случайный процесс с математическим ожиданием, отличным от нуля, можно использовать (2.2).

Для стационарных случайных процессов может быть введено понятие спектральной плотности мощности . Если процесс центрированный, то корреляционная функция и спектральная плотность мощности связаны, как пара преобразований Фурье:

	(2.22)
	(2.23)

Поэтому моделирование стационарного случайного процесса с заданной корреляционной функцией эквивалентно моделированию стационарного случайного процесса с заданной спектральной плотностью мощности .

2.2.1. Метод канонических разложений

Для стационарных процессов каноническое разложение (2.11) по ортонормированным функциям с некоррелированными коэффициентами является разложением в ряд по гармоническим функциям  синусам и косинусам, так как при выполнении (2.21) гармонические функции являются собственными функциями интегрального уравнения (2.14). В соответствии с этим ряд (2.11) становится рядом Фурье со случайными некоррелированными коэффициентами и :

,

(2.24)

где интервал моделирования, , , , , , .

В соответствии со свойствами ряда Фурье (2.24) реализации случайного процесса будут периодическими функциями времени с периодом . Этот период должен быть выбран таким образом, чтобы корреляционная функция процесса (2.24), также имеющая период, не отличалась от заданной корреляционной функции .

Покажем, что представление случайного процесса в виде ряда (2.24) позволяет моделировать стационарный случайный процесс с заданной корреляционной функцией , и определим требования к некоррелированным случайным коэффициентам и .

Для этого определим корреляционную функцию процесса, представленного в виде (2.24):

где дисперсия , дисперсия .

При выводе этого соотношения учтена некоррелированность коэффициентов и (2.24).

Для того чтобы процесс был стационарным в широком смысле, необходимо положить равными дисперсии случайных величин и , так как только при последнее выражение может быть записано как

Таким образом, зависит лишь от разности аргументов :

.

(2.25)

Это выражение есть разложение заданной корреляционной функции в ряд Фурье. При этом корреляционная функция является периодической с периодом .

Для определения дисперсий случайных коэффициентов и важно, что при этом являются коэффициентами разложения в ряд Фурье заданной корреляционной функции в соответствии с (2.25), т.е. могут быть связаны со спектральной плотностью мощности моделируемого случайного процесса (2.22) (2.23). Эта связь с определяет порядок расчета  параметра случайных коэффициентов в каноническом разложении (2.24).

В самом деле, в соответствии с (2.25) можно найти как коэффициенты разложения в ряд Фурье:

	(2.26)
,	(2.27)

при этом учтено, что четная функция, т.е. .

Для уменьшения методической (алгоритмической) погрешности период должен быть выбран достаточно большим. Период должен превышать интервал корреляции случайного процесса : .

Если это неравенство выполняется, то в (2.26) (2.27) можно верхние пределы интегрирования заменить на и тогда с небольшой погрешностью можно записать:

	(2.28)

где  спектральная плотность мощности моделируемого процесса.

Следовательно, дисперсии случайных коэффициентов в разложении (2.24) определяются по заданной спектральной плотности мощности с точностью до постоянных коэффициентов. Таким образом, расчет при подготовительной работе очень прост.

Число членов ряда при цифровом моделировании должно быть конечным для возможности реализации алгоритма.

Обычно спектральная плотность мощности резко спадает при повышении значений характерной верхней частоты , поэтому число членов усеченного ряда ориентировочно может быть определено как .

Можно оценить погрешность, возникающую при усечении ряда (2.24), из следующих соображений. Дисперсия случайного процесса определяется величиной , дисперсия же моделируемого процесса при усечении ряда (2.24) до членов равна .

Критерием для выбора может быть выражение [1]

где малая величина, характеризующая погрешность.

Моделирование по (2.24) при усечении членов ряда происходит по формуле

(2.29)

Если процесс  нормальный, то, как уже обсуждалось, и должны быть нормально распределенными некоррелированными величинами с нулевым средним и дисперсиями . Каждое слагаемое в круглых скобках представляет собой гармонику с частотой . Как известно [3], эта гармоника имеет фазу, равномерно распределенную на интервале и амплитуду , распределенную по Релею:

(2.30)

Таким образом, моделирование нормальных процессов по (2.28) может быть заменено моделированием по формуле , где вместо двух нормально распределенных коэффициентов и для каждого фигурируют две случайные величины с разными законами распределения: амплитуда распределена по Релею с параметром , фаза распределена по закону .

Конечно, использование (2.30) не имеет никаких преимуществ перед применением (2.29), но легко заметить, что в (2.30) вместо случайных величин можно использовать неслучайные амплитуды гармоник :

(2.31)

где фазы каждой гармоники должны быть, как и при использовании (2.29), равномерно распределены на интервале , а величина должна быть определена исходя из сохранения свойств моделируемого процесса. Так как мощность амплитуды каждой гармоники в (2.29) или (2.30) равна

(2.32)

то детерминированные величины в (2.30) должны иметь значение для совпадения спектральных плотностей мощности (2.28) и (2.30).

При использовании ряда (2.30) с детерминированными амплитудами гармоник, время моделирования может быть уменьшено, так как вместо двух нормально распределенных чисел и для определения каждой гармоники здесь достаточно генерировать одну равномерно распределенную величину.

Поскольку коэффициенты детерминированы, то в общем случае ряд (2.30) не позволяет моделировать нормальные случайные процессы. Однако при большом значении , что обычно выполняется, ряд (2.30) в силу центральной предельной теоремы обеспечивает моделирование нормального процесса.

При вычислении тригонометрических сумм (2.28), (2.29), (2.30) для ускорения вычислений и уменьшения машинного времени целесообразно использовать алгоритм быстрого преобразования Фурье при моделировании случайного процесса на фиксированном наборе точек на временной оси, расположенных на равных интервалах (шаг дискретизации). Ряды (2.28) (2.29) (2.30) могут использоваться также для моделирования случайного процесса в дискретных не равноотстоящих точках и, что является основным достоинством методов канонических разложений, для заранее неизвестных точек на временной оси.

Методы канонических разложений имеют ненулевую алгоритмическую погрешность из-за необходимости усечения ряда (2.24) при цифровой реализации.

Основной недостаток методов, как и при моделировании нестационарных случайных процессов,  большие затраты машинных ресурсов. В памяти во время вычислений должны храниться все случайные коэффициенты в используемых разложениях. Функции, по которым осуществляется разложение, должны также храниться в памяти или вычисляться. Кроме того, при вычислениях в соответствии с разложениями необходимо произвести операций умножения и операций сложения ( число членов ряда при цифровой реализации).