3.1. Метод неканонических разложений
Для моделирования стационарных случайных процессов с заданными корреляционными свойствами и плотностью вероятности может использоваться метод неканонических разложений (см. разд. 2.2.2).
Так, при использовании
модели (2.33)
кроме условий (2.33а) и (2.33б), реализующих
в модели заданные корреляционные
свойства, можно обеспечить также и
заданную плотность вероятности процесса,
используя для амплитуды
датчик случайных чисел с плотностью
вероятности [2]
где
заданная
одномерная плотность вероятности
моделируемого процесса.
Эта модель для рассматриваемого вида случайных процессов имеет существенный недостаток (см. разд. 2.2) она не является эргодической, т.е. для неё среднее по времени не совпадает со средним по ансамблю. В тех случаях, когда при моделировании не требуется эргодичность процесса, эта модель имеет преимущество перед другими методами моделирования: она более эффективна с точки зрения затрат машинных ресурсов и позволяет осуществлять моделирование для произвольных, заранее неизвестных моментов времени.
При моделировании некоррелированного процесса с заданной плотностью вероятности достаточно использовать датчик случайных чисел с такой же плотностью вероятности.
Более универсальным методом моделирования стационарных случайных процессов с заданными корреляционными свойствами и одномерной плотностью вероятности является метод, использующий нелинейное безынерционное преобразование нормального случайного процесса.
3.2. Метод, основанный на безынерционном нелинейном преобразовании нормального случайного процесса
Моделирование
осуществляется по схеме рис. 3.1 и ее
цифровому эквиваленту - схеме рис. 3.2.
Здесь
белый
дискретный шум с нормальным распределением,
который с помощью цифрового формирующего
фильтра преобразуется в нормальный
дискретный случайный процесс
с корреляционной функцией
.
Случайный процесс
с одновременно заданными корреляционной
функцией и одномерной плотностью
вероятности формируется из
с помощью безынерционного нелинейного
преобразования, так что каждый отсчет
определяется значением
в этот же момент времени:
|
(3.1) |
Расчет безынерционного
нелинейного преобразования (3.1) и
цифрового формирующего фильтра в схеме
на рис. 3.1 ведется в такой последовательности.
Сначала определяется безынерционное
нелинейное преобразование, обеспечивающее
преобразование гауссовых случайных
величин
в случайные величины
с заданной плотностью вероятности.
Затем по выбранному преобразованию
(3.1) определяется корреляционная функция
нормального процесса
,
обеспечивающая заданную корреляционную
функцию моделируемого процесса, и
синтезируется цифровой формирующий
фильтр по найденной корреляционной
функции
(или
)
(см. разд. 2.2.3).
Для
упрощения расчетов обычно предполагается,
что процессы
и
имеют нулевое среднее, а
единичную
дисперсию. Процесс
с ненулевым средним
в этом случае может быть получен из
как
.
Рассмотрим расчет схемы моделирования (рис. 3.1) подробнее.
1. Пусть безынерционное
нелинейное преобразование является
монотонным, т.е.
.
Определим его, исходя из заданной
одномерной плотности вероятности
моделируемого процесса и нормальной
плотности вероятности процесса
:
Функция
должна удовлетворять следующему условию,
связывающему функции распределения
и
,
соответствующие плотностям вероятности
и
:
,
где
означает вероятность того, что
,
функция,
обратная
.
Из этого соотношения
следует, что
.
Дифференцируя,
получаем выражение, связывающее заданную
плотность
c
:
,
что дает нелинейное дифференциальное
уравнение для преобразования (3.1)
|
(3.2) |
Это уравнение аналитически удается решить только в редких случаях. В общем случае это нелинейное дифференциальное уравнение должно решаться численными методами.
2. После того, как
найдено нелинейное преобразование
,
как уже обсуждалось, необходимо определить
по заданной корреляционной функции
моделируемого процесса
корреляционную функцию процесса
(рис.3.1). В соответствии с определением
корреляционной функции связь заданной
с искомой
записывается как
|
(3.3) |
где
,
,
,
,
двумерная
плотность, вероятности значений
и
,
зависящая от искомой корреляционной
функции
:
Выражение (3.3), связывающее заданную и искомую , удается точно решить аналитически лишь в частных случаях.
Для общего случая разработаны аналитические методы нахождения приближенного решения этого уравнения.
3. После определения может быть, как уже обсуждалось, синтезирован цифровой формирующий фильтр по известной корреляционной функции.
Пример 3.1.
Моделирование случайного процесса с равномерным распределением и заданной корреляционной функцией.
Пусть задана
корреляционная функция процесса
,
где
дисперсия
случайного процесса,
нормированная
(
)
корреляционная функция процесса.
Плотность вероятности задана как
Дисперсия,
соответствующая этому распределению,
равна
.
1. Определим
безынерционное нелинейное преобразование,
обеспечивающее трансформацию нормальной
одномерной плотности вероятности в
заданную равномерную плотность
вероятности. Для заданной плотности
выражение (3.2) дает
,
откуда определяется требуемое нелинейное
безынерционное преобразование:
,
где
интеграл
вероятности
.
Найденное безынерционное нелинейное преобразование описывает функцию сглаженного ограничения (рис. 3.3).
2. Определим по заданной корреляционной функции и найденной корреляционную функцию нормального процесса в схеме рис. 3.1.
Для найденного
преобразования
интеграл (3.3) может быть вычислен, что
дает
,
откуда
.
3. Учтем [1], что
последнее выражение при
с точностью не хуже, чем 2%, приближенно
равно
,
так как
при
.
Таким образом,
корреляционная функция нормального
процесса в схеме рис. 3.1 с точностью до
множителя
совпадает с заданной нормированной
корреляционной функцией
.
Синтез формирующего фильтра в схеме моделирования (рис. 3.2) может быть произведен рассмотренными выше методами.
Пример 3.2.
М
оделирование
случайного процесса
с одномерной плотностью вероятности
(рис.3.4):
где
параметр
распределения.
Среднее значение
такой случайной величины равно
,
средний квадрат равен
,
дисперсия
.
Это распределение
Релея. Таким образом, распределена,
например, амплитуда узкополосного
нормального процесса. Это свойство
нормального процесса обычно используется
для моделирования процесса с заданной
релеевской плотностью вероятности.
Моделирование в этом случае осуществляется
по формуле [3]
,
связывающей квадратурные составляющие
узкополосного нормального процесса
и
с амплитудой этого процесса
,
представляющей моделируемый процесс.
Квадратурные составляющие
и
при этом являются в свою очередь
независимыми нормальными процессами.
Таким образом, моделирование случайного
процесса с релеевской плотностью
вероятности может осуществляться по
схеме рис 3.5 и ее цифровому аналогу рис.
3.6. Здесь в каждой схеме, в отличие от
схем рис. 3.1 и рис. 3.2 используется по два
формирующих фильтра, на входы которых
поступают реализации независимых белых
гауссовых шумов
,
(или
и
).
Для синтеза
формирующих фильтров в схемах рис. 3.5 и
3.6 можно использовать известные
соотношения, связывающие корреляционные
функции
и
квадратурных составляющих и комплексной
огибающей, представляющей релеевский
процесс. Известно, что заданная
корреляционная функция
центрированного (
)
и нормированного (
)
релеевского процесса (огибающей) связана
с корреляционными функциями (
)
центрированных и нормированных квадратных
составляющих как
,
а дисперсия огибающей равна
.
Таким образом,
корреляционные функции независимых
нормальных процессов
и
в схеме рис. 3.5 должны быть равны
.
Найденная
корреляционная функция может быть
использована для синтеза формирующих
фильтров в схеме цифрового моделирования
рис. 3.6. Этим приемом можно пользоваться,
если
.
В случае если
заданной является корреляционная
функция
ненормированного и нецентрированного
релеевского процесса, то для определения
,
а значит, и
можно использовать соотношение
,
откуда
.
Методическая ошибка рассмотренного метода моделирования не превышает 2,5% от значения [1].