4. Минимизация дисбаланса на линии сборки

5. Транспортная задача

6. Модель планирования финансовой деятельности

7. Целевое программирование

Двойственные задачи линейного программирования

1.Общая задача линейного программирования

Двойственная задача - это вспомогательная задача ЛП, формулируемая с помощью определенных правил непосредственно из условий исходной, или прямой, задачи. Приведем обобщенную формулировку двойственной задачи ЛП, которая применима к любой форме представления прямой задачи(приводимая ниже формулировка двойственной задачи является обобщенной в том смысле, что она применима ко всем формам прямой задачи).

Для математической задачи: всегда можно построить двойственную задачу вида:

Правила составления двойственной задачи по отношению к исходной:

1)число переменных двойственной задачи=числу ограничений прямой задачи;

2)коэф-тами к целевой функции дв.задачи яявляются правые части ограничений прямой задачи;

3)если исходная задача на max то двойственная на min;

4)матрица коэф-тов системы ограничений дв.задачи получается путем транспонирования матрицы коэф-тов системы ограничений прямой задачи;

5)если ограничения исх.задачи имеют ограничения <=, ограничение дв.задачи >= и наоборот;

6)правыми частями ограничений дв.задачи явл-ся коэф-ты цел.функции прямой задачи;

7)условия неотрицательности в обоих задачах сохраняются.

2. Экономическая интерпретация двойственной задачи

Пусть имеется задача о наилучшем использовании рес-ов:

C₁X₁+… +C_NX_N→ max x – количество продукции

a₁x₁+… +a_1nx_n<=b₁ c – цены на сбыт

(1) … … … aij – кол-во ресурсов iго типа на производства продукта j

a_m1x₁+…+a_mnx_n<=b_m bi – ограничение по I ресурсу на складе

x_j>=0, j=1,n

П усть У_i – цена 1 единицы i вида ресурса. Тогда за все рес-сы фирма заплатит:

b₁y₁+…+ b_my_m→ min

a₁₁y₁+ a₂₁y₂+…+ a_m1y_m>=c₁

(2) … … …

a_1ny₁+ …+ a_mny_m>=c_n

y_i>=0, i=1,m

О бщий вид задачи:

C₁X₁+… +C_NX_N→ max b₁y₁+…+ b_my_m→ min

a₁x₁+… +a_1nx_n<=b₁

(1) … … … a_ny₁ + a₂₁y₂+…+a_m1y_m>=c₁ :x₁

a_m1x₁+…+a_mnx_n<=b_m1

a_m1+1x₁+…+a_m+1nx_n<=b_m1+1 (2) a_1n1y₁ + …+a_mn1y_m>=c_n1 :x_n1

… … …

a_m1x₁+…+a_mnx_n=b_m a_1n1+1y₁ + …+a_mn1+1y_m=c_n1+1 :x_n1+1

x_j>=0, j=1,n;n₁<=n a_1ny₁+ …+ a_mny_m>=c_n :x_n ; y_i>=0, i=1,m

Ограничения на знак в дв.задаче будут иметь только те переменные, которые имеют ограничения типа нер-ва.

Двойственная оценка показывает насколько увеличится значение целевой функции, если значение соотв-го рес-са увеличить на 1 единицу.