1. Линейные задачи - материал из методички ИНФОРМАТИКА

   1. Математическая модель задачи

   2. Задача о наилучшем использовании ресурсов

   3. Графическое решение. Геометрическая интерпретация. Порядок графического решения

2. Задачи, сводящиеся к задачам линейного программирования - материал из методички ИНФОРМАТИКА

   1. О наилучшем использовании ресурсов

   2. Задача о смесях

3. Двойственные задачи линейного программирования

   1. Общая задача линейного программирования

   2. Экономическая интерпретация двойственной задачи

   3. Основное неравенство двойственности

   4. Теоремы двойственности

4. Анализ на чувствительность

5. Транспортная задача

   1. Метод минимального элемента – метод построения/метод северо-западного угла

   2. Метод потенциалов

6. Сетевые задачи

   1. Терминология – материал из методички set metod

   2. Алгоритм решения

   3. Сетевые методы планирования – материал из методички set metod

   4. Определение максимальной пропускной способности сети

   5. Определение кратчайшего пути (2 пункта)

   6. Задача о потоке минимальной стоимости

7. Динамическое программирование

   1. Теория/принципы

   2. Задача распределения инвестиций

   3. Задача бродячего торговца

   4. Задача о загрузках

   5. 3 модели управления запасами

      1. Теория

      2. Однопродуктовая статическая модель без дефицита – методичка 242157

      3. Однопродуктовая статическая модель с дефицитом - методичка 242157

      4. Многопродуктовая статическая модель без дефицита (с ограничением на емкость складских помещений)

      5. Однопродуктовая n-этапная динамическая модель без дефицита – методичка 242157

      6. Частный случай постоянных или убывающих предельных затрат – методичка 242157

      7. Одноэтапная модель с мгновенным спросом при отсутствии затрат на оформление заказа (одноэтапная вероятностная модель) – методичка 242157 (+ Математические ожидания суммарных затрат)

Линейные задачи. Математическая модель задачи

Общую задачу линейного программирования можно сформулировать следующим образом. Найти такие значения , которые удовлетворяют системе ограничений

(1.1)

условиям неотрицательности

(1.2)

и для которых линейная функция (целевая функция)

(1.3)

достигает экстремума (максимума или минимума).

Вектор , координаты которого удовлетворяют системе (1.1) и (1.2) называют опорным планом или допустимым решением задачи линейного программирования.

Опр. 1

Множество удовлетворяющих всем условиям задачи, всевозможных допустимых решений (планов) задачи называют множеством допустимых планов.

Оптимальным планом или оптимальным решением задачи линейного программирования называется план, доставляющий наибольшее (наименьшее) значение линейной функции (1.3).

В общем случае:

-могут участвовать ограничения

-ограничение на знак может иметь только часть переменных (может иметь, а может не иметь).

Теорема.

Множество допустимых планов (Х) выпукло, т.е. если две точки x,y принадлежат множеству X ( ), то и весь соединяющий их отрезок также принадлежат множеству X.

Доказательство.

Пусть . Покажем, что точка также принадлежит множеству Х. Доказательство проведем для первого неравенства, для остальных неравенств и равенств оно проводится аналогично.

Так как , то

Умножим первое неравенство на , второе на (1- ) и сложим их.

Так как , , то

Задача о наилучшем использовании ресурсов

Необходимо определить план производства одного или нескольких видов продукции, который обеспечивает наиболее рациональное использование имеющихся материальных, финансовых и других видов ресурсов. Такой план должен быть оптимальным с точки зрения выбранного критерия – максимума прибыли, минимума затрат на производство и т. д.

Введем обозначения:

n - количество различных видов выпускаемой продуктов;

m - количество различных видов ресурсов на планируемый период (например, производственные мощности, сырье, рабочая сила);

Р асходуют соответственно не более заданного кол-ва ресурсов.

- объем затрат i-го ресурса на выпуск единицы j-й продукции (технологические коэффициенты);

И звестен вектор цен (прибыли) С=(с1,…,сn), где

- прибыль от выпуска и реализации единицы j-го вида продукции;

Определяется кол-во всех видов продукции с тем, чтобы суммарная стоимость выпущенной продукции была максимальной.

- количество имеющегося i-го ресурса;

- количество j-го вида продукции,

(идет повтор введения обозначений, сделала два варианта. Верхний проще, нижний по Рольщикову).

Решаем систему линейных уравнений пересекающихся в точке касания линии уровня и множества Х.

Задачи, сводящиеся к задачам линейного программирования

1. О наилучшем использовании ресурсов (Оптимизация плана производства)

Необходимо определить план производства одного или нескольких видов продукции, который обеспечивает наиболее рациональное использование имеющихся материальных, финансовых и других видов ресурсов.

Обозначения:

n - количество выпускаемых продуктов;

m - количество используемых производственных ресурсов (например, производственные мощности, сырье, рабочая сила);

- объем затрат i-го ресурса на выпуск единицы j-й продукции;

- прибыль от выпуска и реализации единицы j-го продукта;

- количество имеющегося i-го ресурса;

- объем выпуска j-го продукта

( 1) – целевая функция (максимум прибыли);

(2) – система ограничений на объем имеющихся ресурсов;

(3) – ограничения на неотрицательность переменных.

Линейная функция (3), максимум которой требуется определить, вместе с системой неравенств (2) и условием неотрицательности переменных (1) образуют математическую модель исходной задачи.

2. Задача о смесях (Оптимальное смешение)

Необходимо определить наилучший способ смешения исходных ингредиентов для получения смеси с заданными свойствами и с наименьшими затратами.

Обозначения:

n - количество исходных ингредиентов;

m - количество компонентов в смеси;

- количество j-го ингредиента, входящего в смесь;

- количество i-го компонента в j-м ингредиенте;

- стоимость единицы j-го ингредиента

- количество i-го компонента в смеси.

(1) – целевая функция (минимум затрат на получение смеси);

(2) – группа ограничений, определяющих содержание компонентов в смеси;

(3) – ограничения на неотрицательность переменных.

3. Задача о раскрое (Минимизация обрезков)

Данная задача состоит таких технологических планов раскроя, при которых получается необходимый комплекс заготовок, а отходы (по длине, площади, объёму, массе или стоимости) сводятся к минимуму.

Например, продукция бумажной фирмы выпускается в виде бумажных рулонов стандартной ширины . По специальным заказам потребителей фирма поставляет рулоны других размеров, для этого производится разрезание стандартных рулонов. Типичные заказы на рулоны нестандартных размеров могут включать видов шириной . Известна потребность в нестандартных каждого вида, она равна . Возможны различных вариантов построения технологической карты раскроя рулонов стандартной ширины на рулоны длиной .

Обозначим через количество рулонов i-го вида, получаемых при раскрое единицы стандартного рулона по j-му варианту. При каждом варианте раскроя на каждый стандартный рулон возможны потери, равные . К потерям следует относить также избыточные рулоны нестандартной длинны , получаемые при различных вариантах раскроя , .

В качестве переменных следует идентифицировать количество стандартных рулонов, которые должны быть разрезаны при j-м варианте раскроя. Определим переменную следующим образом: – количество стандартных рулонов, разрезаемых по варианту , .

Целевая функция – минимум отходов при раскрое

(3.29)

Ограничение на удовлетворение спроса потребителя

, , . (3.30)