13. Характеристики линейных систем
Важнейшие классификационные признаки: линейность и стационарность.
Линейные системы – системы, для которых выполняется принцип суперпозиции: реакция на сумму сигналов равна сумме реакций на эти сигналы, поданные на вход по отдельности.
Стационарная система или система с постоянными параметрами – если произвольная задержка подаваемого на вход сигнала приводит лишь к такой же задержке выходного сигнала, не меняя его формы. В противном случае система нестационарная, параметрическая, с переменными параметрами.
И
мпульсная
характеристика системы h(t)
– реакция
системы на поданную на вход дельта-функцию.
Позволяет найти реакцию системы на
любой входной сигнал (благодаря её
свойствам линейности и стационарности).
Любой сигнал
может быть представлен в виде свёртки
самого себя с дельта-функцией:
Выходной сигнал линейной
системы с постоянными
параметрами равен свёртке входного сигнала и импульсной характеристики системы:
Формирование выходного сигнала.
Бесконечно малая часть sвх(t) шириной dt порождает на выходе отклик – импульсную характеристику, умноженную на sвх(t)dt и задержанную во времени на t, т.е. sвх(t)h(t-t)dt.
Для получения выходного сигнала в момент t необходимо сложить вклады от всех dt – выполнить интегрирование по t
П
ереходная
характеристика g(t)
– реакция системы на поданную на вход
функцию единичного скачка.Дельта-функция
– производная от единичного скачка,
поэтому импульсная и переходная
характеристики связаны друг с другом:
Условие физической реализуемости. Физически реализуемая система обладает свойством причинности – выходная реакция не может возникнуть раньше входного сигнала. Следовательно h(t) и g(t) – равны нулю при t<0.
К
омплексный
коэффициент передачи Прохождение
сигнала через линейную систему описывается
как (см. свойство ПФ – спектр свертки
сигналов):
К(ω) – преобразование Фурье импульсной характеристики системы:
K(ω)— комплексный коэффициент передачи системы, модуль и фаза - амплитудно-частотная (АЧХ) и фазочастотная (ФЧХ) характеристики.
К
оэффициент
передачи по мощности Мощность
не зависит от фазы и равняется квадрату
АЧХ:
Ф
азовая
и групповая задержка на
частоте ω
– задержка гармонического колебания
с частотой ω,
проходящего через систему: фазовый
сдвиг, вносимый системой, деленный на
частоту гармонического колебания с
обратным знаком.
Групповая задержка (group delay) на частоте ω – задержка огибающей узкополосного сигнала со средней частотой ω: производная от ФЧХ системы с обратным знаком.
14. Способы описания линейных систем
Дифференциальное уравнение
Для линейной цепи с сосредоточенными параметрами:
x(t) – входной сигнал, y(t) – выходной сигнал, ai и bi - постояннные коэффициенты. Описание цепи – набор коэффициентов {ai} и {bi}; m≤n – максимальный порядок производной входного сигнала не может превышать порядок производной выходного сигнала; n – порядок цепи.
Функция передачи
Применив преобразование Лапласа к ДУ получим выражение для операторного коэффициента передачи или функции передачи
Комплексный коэффициент передачи получается при подстановке s=jω:
Нули и полюсы
Р
азложив
числитель и знаменатель функции передачи
H(s)
на множители, получим:
- коэффициент усиления (gain)
-
нули функции передачи (zero)
- полюсы функции
передачи (pole)
Цепь описывается набором параметров {zi}, {pi}, k. Нули и полюсы могут быть вещественными или составлять комплексно-сопряженные пары. Коэффициент усиления всегда вещественный.
Полюсы и вычеты
Представим дробно-рациональную функцию передачи H(s) в виде суммы простых дробей. При отсутствии кратных корней у знаменателя получим:
- полюсы функции
передачи (pole)
- вычеты
- целая часть функции передачи, отличная от нуля только в случае равенства степеней полиномов числителя и знаменателя.
Цепь описывается набором параметров {ri}, {pi}, C0.
Полюсы могут быть вещественными или составлять комплексно-сопряженные пары. Соответствующие вычеты также являются комплексно-сопряженными.
П
ри
наличии кратных полюсов функции передачи
H(s)
разложение на простые дроби сложнее –
каждый m-кратный
полюс pi
дает m
слагаемых вида: