Решение систем дифференциальных уравнений
При решении системы ЛДУ с постоянными коэффициентами для каждой неизвестной функции вводится свое изображение и решение задачи сводится к решению системы алгебраических уравнений для изображений.
Рассмотрим систему двух ЛДУ 1 порядка
x`(t) + a11 x(t) + a12 y(t) = f1(t) ( 18 )
y`(t) + a21 x(t) + a22 y(t) = f2(t)
при начальных условиях x(0) = x0, y(0) = y0 . Функции f1(t), f2(t) оригиналы.
Пусть x(t) =: F1(p) , у(t) =: F2(p) , f1(t) =: Ф1(p) , f2(t) =: Ф2(p). Построим изображающее уравнение с учетом формулы ( 6 ) , т.е. x`(t) =: pF1(p) - x0 , y`(t) =: pF2(p) - y0
pF1(p) - x0 + a11 F1(p) + a12 F2(p) = Ф1(p) ( 19 )
pF2(p) - y0 + a21 F1(p) + a22 F2(p) = Ф2(p)
Из решения системы находят F1(p), F2(p), а затем их оригиналы x(t) , y(t) .
Пр.21
При условии x(0)
= y(0)
= 0 решить
систему
.
Т.к.
t
=: 1/p2
(Пр.5), то
система ( 18 ) принимает вид
Решение
системы F1(p)
=
; F2(p)
=
.
Эти изображения разложим на сумму
простейших дробей: F1(p)
= -
+
-
, F2(p)
= -
+
+
и по формулам № 1, 3 перейдем к оригиналам,
которые дают решение исходной системы
уравнений :
x(t) = – t + ½ et – ½ e-t , y(t) = – 1 + ½ et + ½ e-t .
Проверка. x`(t) – у(t) = [– 1 + ½ et + ½ e-t] – [– 1 + ½ et + ½ e-t] = 0
у`(t) – x(t) = [½ et – ½ e-t ] – [– t + ½ et – ½ e-t ] = t
Решение интегральных уравнений
Интегральными уравнениями называют такие уравнения, в которых неизвестная функция y(t) стоит под знаком интеграла.
В некоторых случаях такие уравнения также могут быть решены средствами операционного исчисления. К таким уравнениям относятся, например, уравнения Вольтерра первого ( I ) и второго ( II) рода
(
I
)
, (
20 )
(
II
)
. (
21 )
интеграл,
стоящий здесь, представляет собой сверку
функций g(t)
и y(t),
что облегчает решение этих интегральных
уравнений операционным методом. Пусть
и
.
Пользуясь свойствами умножения
изображений и линейностью, получим
изображающие уравнения
(
I
)
; ( II
)
.
Отсюда находим неизвестные изображения :
(
I
)
; ( II
)
,
по которым восстанавливаем искомые функции y(t).