Интегрирование оригиналов и изображений
Теорема об интегрировании оригинала. Интегрирование оригинала приводит к делению изображения на параметр p
=:
F(p)
(
12 )
Доказательство.
Интеграл
удовлетворяет
всем 3 условиям, опре-деляющим оригинал.
Обозначим
=:
Ф(p),
тогда по формуле ( 7 ) имеем
(
)`
=: pФ(p)
-
= pФ(p)
,
но интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для подынтегральной функции и производная от него есть подынтегральная
функция, т.е. f(t) =: pФ(p) = F(p) или Ф(p) = F(p) .
Пр.16 Найти изображение для f(t) = tn .
Интеграл
от единичной функции
(t)
дает t
. Последующие
интегри-рования приведут к функции tn
/n!
. При каждом интегрировании изображе-ние
F(p)
=
умножится
на
=
t
=:
=
;
=
=:
;
=
=:
;
=
=:
В
результате получим формулу № 2 из
таблицы tn
=:
.
Теорема
об интегрировании изображения
Интегрирование изображения от p
до
приводит к делению оригинала на переменную
t
=:
, (
13 )
где F(z) аналитическая функция.
Пр.17
Найти изображение для функции
.
Т.к.
sin t
=:
, то
=:
= arctg p
=
-
arctg p
Свертка функций
Опр.
Сверткой
функций f1(t)
и f2(t)
наз. интеграл от произведения этих
функций
f1(t)*f2(t).
Перестановка функций не меняет значения
свертки.
Теорема о свертке Изображение свертки двух оригиналов равно произведению их изображений, т.е. если f1(t) =: F1(p), f2(t) =: F2(p) , то
f1(t)*f2(t) =: F1(p) F2(p) ( 14 )
Доказательство.
Обе
части формулы преобразований Лапласа
F1(p)
=
умножим на
F2(p)
:
F1(p)F2(p)
=
.
По теореме запаздывания ( 4 )
=: f2(t
-
)
или
= =
,
где t
>
.
Тогда
F1(p)F2(p)
=
=
=:
,
т.к. при
>
t
f2(t
-
)
= 0 по 10
свойству оригинала.
Пр.18
Найти оригинал изображения
F(p)
=
.
Решение
1. Имеем
произведение изображений двух функций
t
и
eat
. Поэтому
оригинал равен свертке этих функций
f(t)
= t*
eat
=
= t
-
= J1
- J2
,
J1
= t
= t
-
;
J2
=
=
=
=
-
= t
-
+
. Ответ f(t)
=
-
-
.
Решение
2. Представим
изображение в виде суммы простейших
дробей : F(p)
=
=
+
+
,
тогда Ap(p
– a)
+ B(p
– a)
+ Cp2
= 1
p2 | A + C = 0 A = - 1/a2
p1 | -aA + B = 0 B = -1/a По формулам № 1, 2, 3 получаем оригинал
p0
| - aB
= 1 C
= 1/a2
f(t)
= -
-
+
Решение дифференциальных уравнений
Если дано линейное дифференциальное уравнение порядка n с постоян-ными коэффициентами
y(n)
+ a1y(n
– 1) +
. . . + a0y
=
(t)
( 15 )
где (t) является оригиналом (t) =: Ф(p) и заданы начальные условия вида y(0) = y0 , y`(0) = y1 , y``(0) = y2 , . . . , y(n – 1)(0) = yn – 1 ( задача Коши ), то решение уравнения y(t) так же полагаем оригиналом и y(t) =: F(p). Перейдем в ( 15 ) по формулам ( 7 ), ( 8 ), ( 9 ) к изображению производных и получим линейное уравнение относительно F(p) (изображающее дифференциальное уравнение). Решим это уравнение и по изображению определим оригинал y(t) =: F(p) , который и является решением задачи Коши.
В случае ЛДУ второго порядка y`` + a y` + by = (t) ( 16 )
имеем y(0) = y0 , y`(0) = y`0, y(t) =: F(p), (t) =: Ф(p). По формулам ( 6 ), ( 7 ) имеем y`(t) =: p F(p) - y0 , y ``(t) =: p2 F(p) – p y0 – y`0 и приходим к изобра- жающему уравнению
p2 F(p) – p y0 – y`0 + a[ p F(p) - y0 ] + b F(p) = Ф(p)
F(p) [ p2 + ap + b ] = Ф(p) + y`0 + (p + a) y0
Решение
для изображения: F(p)
=
( 17 )
Пр.19 Решить ЛДУ y``+ 6y`+ 9y = 9e3t при условии y(0) = y`(0) = 0.
Решение
1. Пусть
y(t)
=: F(p),
тогда y`(t)
=: p
F(p),
y
``(t)
=: p2
F(p),
9e3t
=
(№3) и приходим к изображающему уравнению
p2 F(p) + 6p F(p) + 9 F(p) = или F(p)(p2 + 6p + 9) = . Решение представим в виде суммы простейших дробей
F(p)
=
=
+
+
и просуммируем их.
Числитель A(p + 3)2 + B(p2 – 32) + C(p – 3) = 9 приводит к системе 3 уравнений
p2 | A + B = 0 A = ¼ Переход от изображения к оригиналу
p1 | 6A + C = 0 B = - ¼ по формулам № 3, 8 дает
p0 | 9A – 9B – 3C = 9 C = - 3/2
y(t) = ¼ e3t - ¼ e - 3t - 3/2 t e-3t
Решение
2.
Пусть
y(t)
=: F(p)
и
9e3t
=:
Ф(p).
Решение
изображающего уравнения F(p)(p2
+ 6p
+ 9) = Ф(p)
представим в виде произведения двух
изображений F(p)
=
Ф(p),
которые соответствуют функциям t
e-3t
и 9e3t.
Оригинал решения есть свертка этих
функций: y(t)
=
= = 9
= 9 e3t
=
= = 9
e3t
{
}
= ¼ e3t
- ¼ e
- 3t
- 3/2
t
e-3t
Задачи для самостоятельного решения
Пр. 20 y``- 2y` - y = e3t при условии y(0) = 0 , y`(0) = 0
Ответ:
F(p)
=
,
y(t)
= 1/16 e-t
- 1/16 e3t
- ¼ t
e3t
Пр. 21 y``+ y` - 2 y = et при условии y(0) = 0 , y`(0) = 1
Ответ: F(p) = 1/ (p2 – 1) , y(t) = sh t