Отыскание оригинала по изображению
Если
изображение является дробно-рациональной
функцией F(p)
=
и m
< n
,
то многочлен
знаменателя представим в виде произ-ведения
линейных множителей
=
.
Корни
многочлена pi
могут
быть
действительными числами, комплексными
числами и кратными. Комплексные корни
входят сопряженными парами и приводят
к трехчленам типа ( p2
+
p
+
).
В результате F(p)
представ-ляется в виде суммы
элементарных
дробей типа
,
(метод неопределенных коэффициентов).
Комбинируя эти дроби, можно пытаться
построить изображения основных
элементарных функций и затем по таблице
восстановить оригинал.
Пр.
10 Найти оригинал функции F(p)
=
.
=
=
+ ½
=:
etcos
2t
+ ½ etsin
2t
Пр.
11 Найти оригинал функции F(p)
=
.
=
=
+
= =
p2 | A + B = 0
p1
| 2A – 2B + C = 0
A = 1/12 , B = -1/12 , C = - 1/3
p0 | 4A – 2C = 1
=
-
=
-
Из
формул
№ 3, 6, 7
оригинал
f(t)
=
e2t
-
e-t
(cos t
+
sin t
)
.
Если
в F(p)
только простые нули :
=
,
то разложение
изображения упрощается
F(p)
=
, где
( 6 )
Пр.12
Найти оригинал функции F(p)
=
Вычисляем
производную от знаменателя
= [ p(p
– 1)(p
– 2)(p
– 3) ]` =
= (p – 1)(p – 2)(p – 3) + p(p – 2)(p – 3) + p(p – 1)(p – 3) + p(p – 1)(p – 2),
находим её значения в нулевых точках v4`(0) = - 6 , v4`(1) = 2 , v4`(2) = - 2 , v4`(3) = 6 , определяем коэффициенты A0 = - 1/6 , A1 = 1, A2 = - 3/2, A3 = 2/3
и по формуле ( 6 ) расписываем разложение изображения на простые дроби
F(p)
=
=:
+
-
+
.
Если F(p) разлагается в сходящийся ряд
F(p)
=
+
+
+ . . . +
+ . . . ,
то его оригинал находится по формуле
f(t)
=
+
+
+ . . . +
+ . . .
Этот ряд сходится при всех значениях t .
Пр.13
Найти оригинал функции F(p)
=
.
Используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии
=
=
-
+
- . . . Этот ряд сходится при |p|
> 1
По
формуле № 2 получаем оригинал f(t)
=
-
+
-
+ . . .
Дифференцирование оригиналов и изображений
Теорема о дифференцировании оригинала Дифференцирование оригинала приводит к умножению его изображения на p .
Пусть оригинал f(t) и его производная f `(t) имеют одинаковый показа-тель роста s0 , тогда их изображения имеют простую алгебраическую связь
f `(t) =: p F(p) - f(0) ( 7 )
Доказательство.
f
`(t)=:
=
=
=
=
[
f(t)e-pt
|0b
+ p
] = p
F(p)
- f(0)
+
f(b)
e-pb,
но последнее слагаемое обращается в 0 , т.к. Re p = s > s0 .
Пр.14 Найти изображение cos t с учетом равенства cos t = (sin t)`
cos
t
= (sin t)`
=: p
- sin 0 =
Вычислим изображение 2 производной оригинала по формуле ( 7 )
f ``(t) =: p[ pF(p) - f(0) ] - f `(0) = p2 F(p) – p f(0) – f `(0) ( 8 )
Переходя к производным высших порядков, получаем общую формулу
f(n)(t) =: pn F(p) - pn – 1f(0) - pn – 2f `(0) - . . . - f(n – 1)(0) , Re p > s0 ( 9 )
Теорема о дифференцировании изображения Дифференцирование изображения приводит к оригиналу, который отличается от исходного оригинала только общим множителем - t :
F`(p) =: - t f(t) ( 10 )
К ( 10 ) приводит дифференцирование по p левой и правой части равенства ( 1 ). Повторные дифференцирования дают формулу
.
(
11 )
Пр.15 Найти изображение для t sin at , t cos at , t eat .
Т.к. sin at умножается на t , то достаточно продифференцировать его изображение
t sin at =: - ( )` = ( формула № 10)
t cos at =: - ( )` = ( формула № 9)
t
eat
=: - (
)`
=
( формула № 8)