Казанский государственный энергетический университет
Кафедра «Высшей Математики»
Элементы теории операционного исчисления
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Пусть
функция f(t)
обладает
следующими свойствами: 10
f(t)
0
при t
< 0 ; 20
| f(t)|
< M
при t
> 0, где М
> 0 , т.е. f(t)
возрастает не быстрее некоторой
экспоненты и s0
– показатель
роста функции ;
30
На любом промежутке [a,b]
положительной
полуоси
выполняются
условия Дирихле – функция кусочно-непрерывна
и имеет конечное число экстремумов и
точек разрыва I
рода.
Такие функции наз. изображаемыми по Лапласу или оригиналами. Запишем интеграл
=
F(p)
(
1 )
где
p
= s
+ iq
- комплексная переменная. При s
и F(p)
0 . При указанных условиях он сходится
и наз. интегралом
Лапласа, а
функция F(p)
наз. изображением
оригинала.
Переход от f(t)
к F(p)
наз. преобразованием
Лапласа и
обозначается f(t)
=: F(p)
или F(p)
=: f(t).
Для значения f(t)
в точке разрыва t0
выбирают f(t0)
= ½ [f(t0
- 0) + f(t0
+ 0)] . При
этих условиях между f(t)
и F(p)
существует взаимно – однозначное
соответствие.
Смысл преобразования – многим операциям над оригиналами соответствуют более простые операции над изображениями. Например, решение дифференциальных и интегральных уравнений может существенно упроститься.
Нахождение изображений
В
ычислим
изображение единичной функции и
экспоненты
Пр.1
(t)
=
,
(t)
=:
=
=
,
Re p > 0
Пр.2
=
,
=:
=
=
,
Re p > a = s0
Свойство линейности. Т.к. интеграл от суммы функций равен сумме интегра-лов, то линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбина-ция изображений.
С1 f1(t) + С2 f2(t) =: С1 F1(p) + С2 F2(p)
Из формулы Эйлера eit = cos t + i sin t имеем соs t = ½(eit + e-it) , sin t = ½i(eit - e-it) и для оригиналов этих функций вычислим изображения
Пр.3
f(t)
= cos t
= ½(eit
+ e-it)
=: ½ [
]
=
Пр.4
f(t)
= sin t
= ½i(eit
- e-it)
=: 1/2i
[
]
=
Пр.5
f(t)
= t
=:
=
=
+
=
=
.
f(t)
= t2
=:
=
=
+
+
=
=
.
Аналогично имеем t3
=:
,
t4
=:
,
. . . и получаем
tn
=:
.
Теоремы подобия, смещения, запаздывания
Теорема
подобия.
Дополнительное умножение аргумента
t
в оригинале на число а
R,
a
> 0 приводит в изображении к уменьшению
в а
раз параметра p
и самого изображения,
f(аt)
=:
F(
)
.
( 2 )
Доказательство.
f(аt)
=:
=
=
=
=
=
=
F(
)
Пр.6
sin at
=:
=
;
cos at
=:
=
Теорема смещения. Переход в изображении от p к (p + z), где z комплексное число, причем Re (p + z) > s0 , приводит к дополнительному умножению оригинала на экспоненту e-zt
F(p + z) =: e-zt f(t) ( 3 )
Доказательство.
e-zt
f(t)
=:
=
= F(p
+ z)
Пр.7
ezt
sin
at
=:
; ezt
cos at
=:
Теорема
запаздывания.
Уменьшение параметра t
в оригинале на величину
>
0 приводит к дополнительному умножению
изображения на экспоненту
f(t
-
)
(t-
)
=:
F(p)
( 4 )
Доказательство.
f(t
-
)
(t-
)
=:
=
+
+
Первый
интеграл равен 0, т.к.
(t-
)
= 0 при t
<
,
во втором интеграле
(t-
)
= 1 при
f(t
-
)
(t-
)
=:
=
=
=
=
F(p)
Пр.8
(t
-
)
=:
и (t
– a)
(t
- а) =:
с учетом Пр. 5 .
Поиск изображения по графику оригинала
Пр.9 По данному графику оригинала найти изображение.
Построим аналитическое выражение для данной функции,
на основе общего уравнения прямой, проходящей через
две
точки (t1,
y1)
, (t2,
y2)
=
( 5 )
и
свойств единичной функции
(t
- а) =
(t) (t) - (t - а)
Решение.
Функцию на интервале [0 , a]
описывает разность двух единичных
функций
(t)
-
(t
- а) . Первую наклонную определим из ( 5
) по точкам (2а,
0), (а,
1): y
=-
(t
– 2a).
Для перехода от бесконечной прямой к
отрезку на интервале [a,
3a]
умножим уравнение на разность
(t
-а) -
(t
-3а)
Вторую наклонную определим из ( 5 ) по
точкам (4а,0)
, (3а,-1):
y
=
(t
– 4a),
и умножим уравнение на
(t
- 3а).
Сумма этих трех выражений определит
аналитический вид функции
f(t) = (t) - (t - а) - (t – 2a) [ (t - а) - (t - 3а)] + (t – 4a) [ (t - 3а)]
Представим f(t) в виде суммы слагаемых двух типов (t - b) и (t – b) (t - b)
f(t) = (t) - (t - а) - (t – a) (t - а) + (t - а) + (t – 3a) (t - 3а) + (t - 3а)+
+
(t
– 3a)
(t
- 3а)
-
(t
- 3а)
=
(t)
-
(t
– a)
(t
- а)
+
(t
–
3a)
(t
- 3а)
С помощью соотношений Пр.8 совершим переход к искомому изображению
F(t)
=:
-
+
.
Таблица изображений
-
№
f(t) при t>0
F(p)
№
f(t) при t>0
F(p)
1
1
9
t cos at
2
10
t sin at
3
eat
11
4
cos at
12
5
sin at
13
6
ezt cos at
14
7
ezt sin at
15
8
eat
16
