1) Необходимость.

Пусть z₀ - полюс m- го порядка функции f(z). Тогда по определению разложение f(z) в имеет вид

,

где . Умножим обе части на :

.

Обозначим - аналитическая в как сумма степенного ряда, , тогда . Отсюда

, где , F(z) - аналитическая функция.

2) Достаточность.

Пусть существует функция F(z), аналитическая в и , такая, что . Так как F(z) - аналитическая, то она разлагается в ряд Тейлора с центром в точке z₀:

, причём . Тогда

.

Главная часть содержит слагаемых, следовательно, z₀- полюс -го порядка функции f(z).

Теорема 4. Изолированная особая точка z₀ является полюсом функции f(z) тогда и только тогда, когда .

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть z₀ полюс функции f(z), тогда по теореме 3 существует функция F(z), аналитическая в , такая, что и . Перейдем к :

, так как , а =0.

2) Достаточность.

Пусть z₀ - изолированная особая точка и . Тогда . Следовательно, ограничена в окрестности точки z₀, значит, по теореме 1 z₀-устранимая особая точка для функции и , где -коэффициент в разложении Лорана для функции (главная часть=0), то есть

.

Пусть - первый ненулевой коэффициент в ряде справа (то есть ). Тогда

.

Обозначим - аналитическая в как сумма степенного ряда и , следовательно, . Отсюда . Обозначим - аналитическая в и . Тогда , и по теореме 3 z₀ - полюс -го порядка функции .

Из теоремы 3 следует также

Теорема 5. Точка z₀ является полюсом - го порядка функции f(z) тогда и только тогда, когда она является нулём -го порядка для функции при zz₀.

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть z₀ - полюс m-го порядка функции f(z). Тогда по теореме 3 , где . Тогда .

Так как , то – аналитическая в точке z₀ и . Следовательно, z₀- нуль -го порядка функции .

2) Достаточность.

Пусть z₀ - нуль – го порядка функции . Тогда , где - аналитическая в точке z₀ и . Отсюда , где - аналитическая в точке z₀ и . Тогда по теореме 3 z₀ - полюс -го порядка функции f(z).

-

Теорема 6 (А.В.Сохоцкого). Каково бы ни было комплексное число (конечное или бесконечное), найдётся такая последовательность точек {z_n}, сходящаяся к существенно особой точке z₀ , что .

(Короче можно сформировать следующим образом: в сколь угодно малой окрестности существенно особой точки f(z) принимает значения сколь угодно близкие к любому наперед заданному числу, конечному или бесконечному.)

Доказательство.

1) А=. Тогда утверждение справедливо, т.к. функция не ограничена в окрестности существенно особой точки (следовательно, ).

2) A . От противного. Пусть в произвольной окрестности нет точек, в которых значения функции сколь угодно близки к А. Значит, и : . Положим - аналитическая в и , т.е. ограничена по модулю. Значит, по теореме 1 z₀ - устранимая особая точка функции . Следовательно, . Но так как f(z) не ограничена по модулю ни в какой окрестности точки z₀, то , то есть функция имеет нуль в точке z₀. А значит, функция f(z)-A (по теореме 5) имеет полюс в точке z₀. Полученное противоречие доказывает теорему.