2. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции

Теорема. Всякая функция f(z), аналитическая в области D, имеет производные всех порядков на этой области, и для z₀D справедлива формула:

, (7)

где L – произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, целиком лежащий в D и содержащий внутри себя точку z₀.

Замечание 1. Из (7) следует, что

. (9)

Замечание 2. В теореме установлено, что если f(z) имеет производную в любой точке z из области D, то она в каждой точке этой области имеет производную любого порядка. Следовательно, все производные аналитической функции являются непрерывными. В частности, если  f(z) на D, то она обязательно непрерывна. Для действительной функции действительной переменной это выполняется далеко не всегда. Например, , , f(x) дифференцируема на , - не дифференцируема в точке x=0.

Вопрос №12. Теорема Морера

Согласно теореме Коши если f(z)-аналитическая на односвязной области D, то она непрерывна на D и для любого кусочно–гладкого замкнутого контура LD . Справедливо и обратное утверждение.

Теорема (Морера). Если f(z) непрерывна в односвязной области D, и вдоль любого кусочно–гладкого замкнутого контура LD , то f(z) – аналитическая в D.

Доказательство.

 Равенство нулю интеграла по любому кусочно–гладкому замкнутому контуру LD означает, что вдоль любой кривой, соединяющей точки z₀ и z не зависит от вида кривой. Как было доказано, функция является аналитической в D, причём F(z)=f(z). Но по предыдущей теореме f(z)-аналитическая функция, так как является производной аналитической функции. 

Определение. Функция f(z) непрерывная на односвязной области D, называется аналитической на D, если по любому кусочно–гладкому замкнутому контуру LD.

Теорема о среднем

Теорема. Значение аналитической функции f(z) в центре круга равно среднему арифметическому её значений на окружности этого круга, то есть, если z-z₀r круг, лежащий в области G, f(z)-аналитическая в G, то

. (10)

 z=z₀+re^i, ([0,2])-уравнение окружности С с центром в точке z₀, радиуса r.

По интегральной формуле Коши

. 

Принцип максимума модуля аналитической функции

Теорема. Модуль функции f(z),аналитической в некоторой области G и не равной тождественно константе, не может иметь максимума ни в одной точке этой области.

Доказательство.

 Обозначим и предположим противное:  точка z₀G: f(z₀)=M. Из формулы (10) следует

. (11)

Так как , а f(z₀)=M, то из (11) следует, что .

Д ействительно, если допустить, что при некотором значении =₀ , то в силу непрерывности функции f(z) неравенство будет выполняться для любого  из достаточно малого промежутка ₀-₀+, а вне этого промежутка . Значит, в этом случае правая часть неравенства (11) должна быть меньше M , а левая часть равна M (f(z₀)=M). Этого быть не может. Следовательно, если в некоторой точке z₀ f(z₀)=M, то и в достаточно малой её окрестности |z-z₀|<r .

П окажем теперь, что f(z)=M всюду в области G. Пусть z₁- произвольная точка области G. Соединим точку z₀ с точкой z₁ непрерывной линией L, целиком лежащей в G. Обозначим через d расстояние от L до границы области G. Круг с центром в произвольной точке кривой L радиусом принадлежит области G. Следовательно, по доказанному f(z)=M всюду внутри круга с центром в точке z₀ радиуса : . Пусть центр этого круга непрерывно перемещается по L от точки z₀ к точке z₁. Равенство f(z)=M должно выполняться всё время внутри круга, каково бы ни было положение центра круга. Следовательно, в частности f(z₁)=M. Так как z₁ - произвольная точка области G, то это означает, что f(z)=M всюду в области G.

Покажем теперь, что в этом случае f(z)const.

- аналитическая функция.

, следовательно, по условиям Коши-Римана получим, что . Следовательно, vconst. Значит, и ln(f(z))const. Поэтому f(z)const в G.

Получили противоречие с условием. Следовательно, предположение неверно, и аналитическая функция, не может иметь максимума модуля ни в одной точке области G. 

Замечание. Из доказанного принципа следует, что если f(z)- аналитическая в области G и непрерывная в замкнутой области , то максимум модуля достигается на границе области G при условии, что f(z) const. В самом деле, так как f(z)- непрерывная функция, то в замкнутой области она принимает наибольшее значение в некоторой точке z₀ .Так как точка z₀ не может лежать в области G (по доказанной теореме), то она расположена на границе области G.

Вопрос №13. Степенные ряды в комплексной области. Коши-Адамар. Теорема Абеля.

Степенной ряд, радиус и круг сходимости

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида , (1)

где a_n (n=0,1,2,…), z_n - комплексные числа, z-комплексная переменная.

Числа a_n называются коэффициентами ряда, z₀ - его центром.

Область определения степенного ряда - вся комплексная плоскость. Очевидно, что в точке z=z₀ ряд (1) сходится. Следовательно, область сходимости любого степенного ряда состоит, по крайней мере, из одной точки.

Определение. Число называется верхним пределом последовательности действительных чисел {_n}: , если выполнены условия:

1. ;

2. cуществует подпоследовательность .

(Верхний предел - наибольший из частичных пределов; частичный предел- предел подпоследовательности.)

Теорема (Коши-Адамара). Пусть дaн степенной ряд (1) и . Тогда

1. при =0 ряд абсолютно сходится во всей комплексной плоскости,

2. при = (1) сходится только в точке z=z₀ и расходится zz₀,

3. если 0<<, то (1) абсолютно сходится в круге и расходится вне этого круга.

Доказательство.

 1) Пусть =0. Тогда . Следовательно, z выполнено , значит, по признаку Коши ряд сходится. Следовательно, ряд (1) сходится абсолютно во всей комплексной плоскости.

2) Пусть =. Тогда существует подпоследовательность . Следовательно, для (1) не выполняется необходимое условие сходимости, поэтому ряд расходитсяzz₀.

3) Пусть0<<. Если z=z₀, то все члены ряда, начиная со второго, равны нулю, и, следовательно, ряд абсолютно сходится. Если zz₀ и z лежит внутри K, то положим , где . Обозначим . Тогда по свойству 1) верхнего предела . Отсюда . Следовательно, по признаку Коши (1) абсолютно сходится.

Если z лежит вне круга К, то положим . По свойству 2) верхнего предела существует подпоследовательность . Следовательно, . Отсюда . То есть для ряда (1) не выполнено необходимое условие сходимости, и ряд расходится. 

Определение. Круг с центром z₀ и радиусом , внутри которого степенной ряд сходится абсолютно, а во внешности расходится, называется кругом сходимости степенного ряда, а число - радиусом сходимости.

Если =0 (R=), то круг сходимости – вся конечная комплексная плоскость.

Если = (R=0), то круг вырождается в точку z₀, а в его внешности, т.е. во всей комплексной плоскости, кроме точки z₀, ряд расходится.

Н а окружности ряд (1) может вести себя по-разному: может сходиться во всех точках окружности, расходиться во всех точках, может в одних сходиться, а в других расходиться.

Из теоремы Коши-Адамара вытекает

Теорема 2 (Абеля). Если ряд (1) сходится в точке z₁z₀, то он абсолютно сходится в круге .

Доказательство.

 Так как ряд сходится в точке z₁, то она не может лежать вне круга сходимости, значит, она лежит внутри него или на границе. В обоих случаях круг принадлежит кругу сходимости, следовательно, в нем ряд сходится. 

Замечание. Степенной ряд равномерно сходится в каждом замкнутом круге , лежащем внутри круга сходимости. Действительно . Т.к. r<R, то числовой ряд сходится, следовательно, по признаку Вейерштрасса степенной ряд сходится равномерно в .

Аналитичность суммы степенного ряда.

Теорема 3. В круге сходимости |z-z₀|<R (R>0) степенного ряда (1) его сумма f(z) является аналитической функцией, причем может быть получена путем почленного дифференцирования ряда (1):

. (2)

Доказательство.

 Пусть R– радиус сходимости ряда (2). Покажем, что R=R. Очевидно, что R совпадает с радиусом сходимости ряда . Тогда

.

Пусть z₁ принадлежит кругу |z-z₀|<R, возьмем точку так, чтобы . Так как точка  принадлежит кругу сходимости, то ряд абсолютно сходится и, следовательно, выполнено . (3)

Положим . Тогда если zz₁, |z-z₀| то оценим

.

Используя равенство

,

получим

Перейдем к пределу при тогда . Следовательно, для выбранного  ()>0: при |z-z₁|<() . В силу (3) r_n<.

Следовательно, при |z-z₁|<(), отсюда

.

Так как z₁ - произвольная точка внутри круга сходимости, то отсюда следует, что сумма степенного ряда (1) является аналитической функцией, и ее производная

Вопрос №14. Теорема о единственности. Разложение аналитической функции в степенной ряд.

Разложение некоторых функций в ряд Тейлора:

,

,

,

,

,

,

.

Ряд Тейлора

Теорема 4(о единственности). Если функция f(z) разлагается в степенной ряд (1) в круге |z-z₀|<R, то это разложение единственно.

Доказательство.

 По условию в круге |z-z₀|<R. По теореме 3 - аналитическая в круге |z-z₀|<R и к ней можно применить теорему 3 и т.д. Получим

…………………………………………………………………………..

Положим z=z₀. Тогда

,

,

………………..

…

Подставляя найденные коэффициенты в (1), получим . (4)

Ряд (4) называется рядом Тейлора функции f(z).

Покажем единственность разложения.

Пусть и . Тогда по доказанному , следовательно, разложение единственно. Т.е. если функция f(z) разлагается в степенной ряд, то это разложение единственно и является рядом Тейлора. 

Замечание. В процессе доказательства теоремы 4 установили, что сумма степенного ряда (1) бесконечно дифференцируема в круге сходимости |z-z₀|<R; производная любого порядка m получается m- кратного почленного дифференцирования ряда (1).

Вопрос №15. Теорема о разложение аналитической функции в степенной ряд. Теорема Лиувилля.

Теорема 5. Пусть функция f(z)- однозначная и аналитическая в области G. Если z₀G и r - расстояние от z₀ до границы области G, то в круге |z-z₀|<r f(z) разлагается в степенной ряд, расположенный по степеням (z-z₀).

Доказательство.

 Возьмем z{|z-z₀|<r}. Рассмотрим круг .

–его граница .

Согласно интегральной формуле Коши

.

Разложим в степенной ряд по степеням z-z₀:

;

Так как , то является суммой членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем и . Тогда

.

Отсюда

. (5)

Так как для каждого фиксированного z

,

и числовой ряд сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем , то по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости ряд (5) абсолютно и равномерно сходится относительно и, следовательно, его можно интегрировать почленно. Тогда

Получили степенной ряд с коэффициентами:

. (6)

Эти коэффициенты не зависят от радиуса  . Действительно, если ₁ и 0<₁<r, то по следствию из интегральной теоремы Коши

.

Итак, мы показали, что f(z) разлагается в степенной ряд .

Так как z - произвольная точка круга |z-z₀|<r, то теорема доказана.

Из теоремы 5 следует еще одно определение аналитической функции.

Определение 1. Функция f(z) называется аналитической в точке z₀, если она разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности точки z₀.

Определение 2. Функция f(z) называется аналитической на области D, если она разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности каждой точки z₀D.

Следствие. Положим . Из (6) следует следующая оценка коэффициентов степенного ряда:

,

- неравенства Коши,

(где 0<<r, |z-z₀|<r - круг сходимости ряда (1)).

Эти неравенства позволяют оценить сверху модули коэффициентов степенного ряда через максимум модуля суммы ряда на окружности |z-z₀|= и радиус этой окружности.

Из неравенств Коши следует теорема.

Теорема 6 (Лиувилля). Если f(z) – аналитическая на всей комплексной плоскости и ограничена по модулю на ней, то эта функция есть константа.

Доказательство.

 Так как f(z) – аналитическая на всей комплексной плоскости, то она разлагается в степенной ряд с центром в точке z₀=0:

.

Ряд сходится во всей комплексной плоскости, т.е. R=. Так как f(z) ограничена по модулю на , то M>0: |f(z)|M, тогда по неравенствам Коши:

,

где в качестве можно взять любое положительное число. Зафиксируем и перейдем к пределу при . Получим |a_n|0, т.е. |a_n|=0 n=1,2,… . Следовательно, f(z)a₀=const, и теорема доказана.

Вопрос №16. Теорема о единственности и нули аналитических функций

Теорема(единственности). Если две функции f(z) и g(z) , аналитические в некоторой области G, имеют равные значения на бесконечном множестве точек EG, которое имеет по крайней мере одну предельную точку, лежащую внутри G, то f(z)=g(z) всюду в G (т.е. f(z)g(z)).

Доказательство.

Пусть z₀ - предельная точка множества EG.

1) Пусть G – круг с центром в точке z₀. Так как f(z) и g(z) - аналитические функции, то по теореме 5 §15 в любой точке z круга G имеют место разложения этих функций в степенной ряд:

,

.

Достаточно доказать равенство коэффициентов a_n=b_n n0. По условию, если zE,то f(z)=g(z). (*)

Так как z₀ - предельная точка множества Е, то можно выделить последовательность {z_k}E: . Так как f(z_k)=g(z_k) , то переходя в этом равенстве к пределу при k, получим f(z₀)=g(z₀)  a₀=b₀. Тогда (*) примет вид:

,

где z- произвольная точка множества Е. Сокращая на z- z₀, получим

.

Это равенство имеет место zE, в частности, при z=z_k, где . Переходя к пределу, получим a₁=b₁. Поступая и так далее найдем:

a₂=b ₂,… a_n=b _n  . Следовательно, f(z)=g(z) в G.

2

z’

d

) Пусть G – произвольная область, f(z)=g(z) на бесконечном множестве EG и Е имеет предельную точку z₀G. Пусть z - произвольная точка области G. Покажем, что f(z )=g(z ). Соединим точки z₀ и z произвольной непрерывной линией LG .Обозначим d=dist(L,G). Ясно, что круг с центром в любой точке линии L и радиусом целиком лежит в G. По доказанному f(z)=g(z) всюду внутри круга , так как z₀ - предельная точка множества Е. Пусть центр этого круга непрерывно перемещается по L от z₀ к z. Тогда f(z)=g(z) все время внутри круга. Следовательно, в частности, f(z )=g(z ). Так как z - произвольная точка, то f(z)=g(z) всюду в области G.

Замечание. Из теоремы следует, что функции f(z) и g(z) аналитические в области G, тождественно равны между собой, если

1) f(z)=g(z) всюду в произвольной малой окрестности точки области G;

2) f(z)=g(z) на произвольной малой линии, целиком лежащей в G.

Это - одно из замечательных свойств аналитических функций. В случае же произвольной непрерывной функции комплексного переменного ее значения в окрестности точки не определяют ее значения во всех точках области.

Нули аналитической функции

Пусть f(z) - аналитическая в области G функция. Нулем функции называется точка z₀G , в которой f(z₀) =0.

Множество нулей функции f(z), лежащих в области G, может быть конечным или бесконечным, но никакая точка области G не может быть предельной точкой множества нулей, если . Отсюда следует, что любое ограниченное замкнутое множество точек F области G может содержать лишь конечное число нулей функции f(z). Действительно, если допустим противное: F содержит бесконечное множество нулей, то получим, что множество имеет предельную точку, принадлежащую множеству , а, следовательно, принадлежащую множеству G.

Пусть f(z) - аналитическая в области G, и в точке z₀ f(z₀) =0. Тогда разложение для некоторой окрестности точки z₀ имеет вид

,

т.к а₀=f(z₀)=0.

Очевидно, все коэффициенты разложения не могут быть равны 0, т.к в этом случае было бы f(z)≡0 (по теореме единственности). Следовательно, среди коэффициентов а_n (n=1,2...) есть отличные от нуля. Обозначим номер наименьшего из них через m (m≥1). Тогда а₁=а₂=...=а_m-1=0, a_m≠0, и, следовательно, разложение f(z) имеет вид

f(z)=a_m∙(z-z₀)^m+a_m+1∙(z-z₀)^m+1+...

В этом случае точка z₀ – нуль порядка m для функции f(z). Если m=1, то нуль называется простым, при m>1- кратным. Простой нуль характеризуется тем, что для него f(z₀)=0, f(z₀)≠0 (т.к. , n=1,2…), кратный нуль порядка m≥2 характеризуется соотношениями f(z₀)=0, f(z₀)=0,…, f^(m-1)(z₀)=0, f^(m)(z₀)≠0.

Все сказанное имеет место и для тех точек области G, для которых f(z₀)=А, т.к. эти точки являются нулями, аналитической функции f(z₀)-A. Точки, в которых f(z₀)=А, называются А- точками аналитической функции f(z).

Вопрос №17. Понятие ряда Лорана. Теорема об сходимости.

Ряд Лорана, область сходимости

Рассмотрим ряд, расположенный по целым отрицательным степеням z-z₀:

А₀+A₁∙(z-z₀)^-1+A₂∙(z-z₀)^-2+…+A_n∙(z-z₀)^-n+…. (1)

Полагая , получим обычный степенной ряд

A₀+A₁t+A₂t²+…+A_ntⁿ+... . (2)

Радиус сходимости ряда (2) по теореме Коши- Дамара .

1) Если 0<R<∞ , то ряд (2) абсолютно сходится в круге <R и расходится вне его, т.е при >R. Вернемся к переменной z: . Следовательно, при ряд (1) сходится абсолютно, а при ряд (1) расходится.

2) Если R=0, то ряд (2) сходится только в точке t=0. Значит, при =∞ ряд (1) расходится во всей конечной к плоскости.

3) Если R=∞, то ряд (2) абсолютно сходится во всей конечной комплексной плоскости. Поэтому, если =0, то ряд (1) абсолютно сходится во всей конечной плоскости, кроме точки z=z₀.

Обозначим через r= .

Итак, область сходимости ряда (1) – это внешность круга |z-z₀|<r, т.е область |z-z₀|>r (при r- конечном). При r=0 она превращается во всю конечную плоскость, кроме точки z=z₀. При r=∞ она вырождается в точку z=∞.

Обозначим . Т. к. ряд (2) сходится равномерно внутри , то ряд (1) равномерно сходится внутри К и определяет функцию

F(z)=А₀+A₁∙(z-z₀)^-1+A₂∙(z-z₀)^-2 +…+A_n∙(z-z₀)^-n+…, (1׳)

которая является аналитической во всех конечных точках области К. При z=∞ F(∞)=A₀. Будем по определению F(z) называть аналитической в бесконечно удаленной точке. Т.о., аналитичность в точке z=∞ характеризуется наличием разложения (1′), сходящимся в некоторой окрестности точки z=∞.

Определение. Рядом Лорана называется функциональный ряд

, (3)

который является суммой рядов

(4) и . (5)

Определение. Ряд Лорана называется сходящимся на множестве D, если на этом множестве сходится каждый из рядов (4) и (5). Суммой ряда Лорана называется функция S(z)=S₁(z)+S₂(z), где S₁(z) и S₂(z)- суммы рядов (4) и (5).

Ряд Лорана называется абсолютно сходящимся на D, если на этом множестве абсолютно сходятся ряды (4) и (5).

Ряд Лорана называется равномерно сходящимся на D, если на этом множестве равномерно сходятся ряды (4) и (5).

Ряд (4) называется правильной частью ряда Лорана, ряд (5)- его главной частью.

Теорема 1.

1) Область сходимости ряда Лорана есть круговое кольцо. Ряд Лорана абсолютно сходится в этом кольце и равномерно сходится в каждой замкнутой его части.

2) Сумма ряда Лорана является аналитической функцией.

Д оказательство.

 1)Обозначим =Λ, =r. Тогда ряд (4) сходится абсолютно и равномерно внутри области , т.е. внутри окружности , и расходится вне этой окружности. Ряд (5) сходится абсолютно и равномерно внутри области g: |z-z₀|>r, т.е вне окружности γ:|z-z₀|=r и расходится внутри γ. Области G и g имеют общие точки тогда и только тогда, когда выполнено r<R. В этом случае G∩g=D={z: r<|z-z₀|<R} - круговое кольцо. Внутри области D оба ряда сходятся в каждой его замкнутой части абсолютно и равномерно, следовательно, внутри D абсолютно и равномерно сходится ряд Лорана (3). В каждой точке вне D один из рядов (4) или (5) расходится, следовательно, вне D ряд (3) расходится.

2) - аналитическая функция (как сумма степенного ряда) в |z-z₀|<R.

- аналитическая функция zz₀. Сумма ряда - аналитическая в . Следовательно, также аналитическая функция в |z-z₀|>r (т.к. композиция аналитических функций – аналитическая функция, по теореме о производной сложной функции). Следовательно, f(z)=S₁(z)+S₂(z)= - аналитическая функция в кольце D. 

В дальнейшем будем считать, что r<R.

Теорема 2. Если функция f(z) разлагается в кольце D={z: r<|z-z₀|<R} в ряд Лорана, то это разложение единственно.

Доказательство.

 Пусть (6).

Пусть ρ: r<ρ<R. Тогда ряд (6) будет равномерно сходиться на окружности γ: |z-z₀|=ρ (по теореме 1). Тогда ряд

(7)

будет равномерно сходиться, т.к функция ограничена по модулю . Следовательно, этот ряд (7) можно почленно интегрировать на окружности . Тогда

. (8)

Рассмотрим интеграл в правой части.

1) n≠k:

.

2) n=k. В этом случае (доказывали раньше).

Следовательно, в сумме правой части (8) все слагаемые равны нулю, кроме слагаемого с номером к. Тогда из (8) получим

. (9)

Формула (9) выражает коэффициенты ряда Лорана через его сумму f(z) (аналогична формуле для коэффициентов степенного ряда, но там , а здесь !)

Докажем единственность разложения. Пусть

, .

Эти ряды сходятся в кольцах D и ∆ соответственно, содержащих окружность γ:|z-z₀|=ρ и f(z)=φ(z) на γ. Тогда из (9) следует, что a_k=b_k ( ). Следовательно, ряды тождественны. В частности, если D=∆, то f(z)=φ(z) z∈D. 

Как найти кольцо сходимости ряда Лорана? Для этого надо знать r и R. Правильная часть сходится в круге |z-z₀|<R, где или . Главная часть сходится при |z-z₀|>r, где или (получается с помощью замены ).

Разложение аналитической функции в ряд Лорана

Теорема 3 (Лорана). Каждая функция f(z), однозначная и аналитическая в круговом кольце D={r<|z-z₀|<R}, представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана: .

Вопрос №18. Теорема о поведении функции в окрестности изолир. точки.

Теорема1. Изолированная особая точка является устранимой особой точкой функции f(z) тогда и только тогда, когда f(z) является ограниченной в некоторой проколотой окрестности точки z₀.

Доказательство.

 1) Необходимость. Пусть z₀- устранимая особая точка f(z), тогда по определению

. (2)

Степенной ряд в правой части сходится в . Сумма S(z) степенного ряда является аналитической в . Следовательно, она непрерывна в , причем , т.е. . Следовательно, переходя к в (2), получим . Т.к. существует конечный предел в точке z₀ функции f(z), то f(z) ограничена в некоторой окрестности z₀.

2 ) Достаточность. Пусть f(z) аналитическая и ограниченная в , т.е. . Разложим функцию в ряд Лорана: . Докажем, что все коэффициенты с отрицательными степенями равны нулю.

, где .

.

Пусть n<0. Перейдем в последнем неравенстве к при фиксированном n: . Следовательно, z₀ - устранимая особая точка f(z). 

Замечание. Если z₀-устранимая особая точка f(z), то функцию f(z) можно доопределить так, чтобы она стала аналитической в z₀:

где , тогда будет аналитической в z₀, т.к. она совпадает с суммой ряда Тейлора.

Теорема 2. Изолированная особая точка z₀ является устранимой особой точкой функции f(z) тогда и только тогда, когда .

Доказано в теореме 1.

Теорема 3. Изолированная особая точка z₀ является полюсом m-го порядка функции f(z) тогда и только тогда, когда существует функция F(z), аналитическая в некоторой окрестности , такая, что .

Доказательство.