Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины(или n столбцов одинаковой длины).

Минором – некотрого эл-та a_ij определителя n-го порядка называется определитель n - 1-го порядка, полученный из исходного путём вычёркивания строки и столбца, на пересечении кот. находится выбранный эл-т.

Алгебраическое дополнение – минор взятый со знаком «+» если сумма i+j – чётное число, и со знаком «-», если эта сумма нечётная. A_ij=(-1)^(i+j)m_ij.

Определитель – квадратная матрица А порядка n можно сопоставить число det A.

Св-ва определителей:

1)Определитель не изменится,если его строки заменить столбцами. 2)При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет свой знак. 3)Определитель имеющий два одинаковых ряда, равен 0. 4)Общий множитель эл-ов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя. 5)Если все эл-ты некот. ряда пропорциональны соотв. эл-ам параллельного ряда, то такой определитель равен 0. 6)Если эл-ты какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей. 7)Определитель не изменится, если к эл-ам одного ряда прибавить соответствующие эл-ты параллельного ряда, умноженные на некоторое число. 8)Сумма произведений всех эл-ов некот. столбца на алгебраические дополнения соответствующих эл-ов другого столбца есть определитель.

Ранг матрицы – наибольший их порядков миноров данной матрицы, отличных от 0. Св – ва ранга матрицы: 1.) При транспонирования матрицы ее ранг не меняется. 2.) Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменяется. 3.) Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Теорема: Формулировка всех св-в ранга матрицы 1)При транспонировании матрицы её ранг не изменяется. 2)Если ывычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится. 3)Ранг матрицы не изменится при эл-ых преобразованиях матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли: система линейных однородных уравнений совместна  rangA=rangA^(расширенной матрицы). Док: Сис-ма ур-ий может быть запис. в таком виде:

Разрешимость си-мы означ., что столбец свободных членов явл. лин. комбинацией столбцов коэффициентов. () если си-ма разрешима, то - есть лин. комбинация столбцов коэффициентов. Но каждый столбец коэффициентов явл. лин. комбинацией столбцов входящих в базисный минор А, то каждый столбец расширенной матрицы А^ явл. лин. комб. Столбцов базисного минора матрицы – А. Поэтому базисны минор матрицы А, явл. базисным минором расширенной матрицы A^. Следовательно rangA=rangA^.() Если rangA=rangA^, то базисный минор А явл. базисным минором расширенной матрицы A^. Следовательно любой столбец в час-ти столбец 

Есть лин. комбинация столбцов базисного минора матрицы A.

Теорема: Элементарные преобразование над матрицей не меняют её ранга. выполним эл.

преобразования

Метод Крамера:

Метод Гаусса: Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе система приводится к ступенчатому ввиду.

На втором этапе идет последовательное определение неихвестных из этой ступенчатой системы.

Скалярное произведение векторов: называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

a * b = |a| * |b| * cos a

Свойства: 1.) Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba. 2.) Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя: (λa)*b = λ*(ab) 3.) Скалярное произведение обладает распределительным свойством. 4.) Скалярный квадрат вектора равен его длины. 5.) если вектора a и b взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.е.