4. Минимизация дисбаланса на линии сборки

Промышленная фирма производит изделие, представляющее сборку из различных узлов. Эти узлы изготавливаются на заводах.

Из-за различий в составе технологического оборудования производительность заводов по выпуску j-го узла неодинакова и равна . Каждый i-й завод располагает максимальным суммарным ресурсом времени в течение недели для производства узлов, равного величине .

Задача состоит в максимизации выпуска изделий, что по существу эквивалентно минимизации дисбаланса, возникающего вследствие некомплектности поставки по одному или по нескольким видам узлов.

В данной задаче требуется определить еженедельные затраты времени (в часах) на производство j-го узла на i-м заводе, не превышающие в сумме временные ресурсы j-го завода и обеспечивающие максимальный выпуск изделий.

Пусть – недельный фонд времени (в часах), выделяемый на заводе для производства узла . Тогда объёмы производства узла будут следующими:

, . (3.15)

Так как в конечной сборке каждый из комплектующих узлов представлен в одном экземпляре, количество конечных изделий должно быть равно количеству комплектующих узлов, объём производства которых минимален:

. (3.16)

Условие рассматриваемой задачи устанавливает ограничение на фонд времени, которым располагает завод .

Таким образом, математическая модель может быть представлена в следующем виде.

Максимизируем

; (3.17)

, ; (3.18)

для всех и .

Эта модель не является линейной, но её можно привести к линейной форме с простого преобразования. Пусть – количество изделий:

. (3.19)

Этому выражению с математической точки зрения эквивалентна следующая формулировка: максимизировать при ограничениях

, ; (3.20)

, ; (3.21)

для всех и ; .

5. Транспортная задача

Задача заключается в отыскании такого плана перевозок продукции с m складов в пункт назначения  n, который потребовал бы минимальных затрат. Если потребитель j  получает единицу продукции (по прямой дороге) со склада i, то возникают издержки С_ij. Предполагается, что транспортные расходы пропорциональны перевозимому количеству продукции, т.е. перевозка k единиц продукции вызывает расходы  kС_ij.      Далее, предполагается, что                                                        где a_i есть количество продукции, находящееся на складе i, и b_j – потребность потребителя >j. Такая транспортная задача называется закрытой. Однако, если данное равенство не выполняется, то получаем открытую транспортную задачу, которая сводится к закрытой по следующим правилам:      1. Если сумма  запасов  в  пунктах  отправления  превышает  сумму  поданных  заявок  то количество продукции, равное   остается на складах. В этом случае мы введем "фиктивного" потребителя n+1  с потребностью  и положим транспортные расходы p_i,n+1 равными 0 для всех i.      2. Если сумма  поданных  заявок  превышает  наличные  запасы то потребность не может быть покрыта. Эту задачу можно свести к обычной транспортной задаче с правильным  балансом,  если  ввести  фиктивный пункт отправления m+1 с  запасом   и стоимость перевозок из  фиктивного  пункта  отправления  во  все  пункты  назначения  принять  равным  нулю.        Математическая модель транспортной задачи имеет вид:                                                          где x_ij количество продукции, поставляемое со склада i потребителю j, а С_ij издержки (стоимость перевозок со склада i потребителю j).