F(X) является первообразной для f(X)
Если нужно найти площадь под графиком функции с вертикальной асимптотой или заданной на бесконечно длинном промежутке, то…?? Скорее всего, речь идет о НСИ (2го рода – с вертикальной асимптотой, 1го рода - на бесконечном промежутке), т.е. чтобы найти площадь такой фигуры, нужно вычислить несобственный интеграл (через пределы)
Сходимость числового ряда… означает *сходимость последовательности частичных сумм
Если общий член ряда стремится к …, то…
Если общий член ряда стремится к 1 (или к бесконечности, к чему угодно, только не к нулю), то ряд расходится (достаточный признак расходимости ЧР)
Если ряд сходится, его общий член стремится к нулю
Если ряд сходится… общий член ряда стремится к нулю
Если числовой ряд сходится абсолютно… *ряд сходится (странный вопрос, но это единственный подходящий ответ) Теорема 1. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.
Если последовательность частичных сумм ряда ограничена, то ряд сходится при условии монотонности указанной последовательности (теорема Вейерштрассе для ЧП – если ЧП ограничена и монотонна, тогда она сходится), в рядах частичные суммы образуют ЧП
Если ряд сходится условно, то…*ряд сходится в обычном смысле, но абсолютно расходится (это означает, что ряд их модулей расходится (т.е. не удовлетворяет абсолютной сходимости), но в общем смысле ряд сходится) ???
Если последовательность частичных сумм ряда имеет предел…конечный предел, то ряд сходится
Если ряд сходится, то последовательность его частичных сумм…имеет конечный предел, сходящаяся, монотонная и ограниченная (теор. Вейерштрассе)…ограничена
Если ряд сходится, то при умножении всех членов на одно и то же число…полученный ряд сходится к сумме исходного ряда, умноженной на это число (из свойства однородности)
Если 2 ряда сходятся, то их сумма…сходится к сумме исходных рядов (аддитивность – «если Σa и Σв сходятся, то сходится ряд из Суммы членов=Σ(а+в) = Σa+ Σв, но обратное неверно» из лекций)
Если сумма 2х рядов сходится, то каждый из рядов слагаемых*может расходиться (см.предыдущий вопрос – если 2 ряда сх., то ряд из суммы членов рядов сх.,но если сумма рядов сходится, то каждый ряд может и расходиться)
Если при произвольной перестановке членов ряда полученный ряд можно сделать сходящимся к любой сумме…Теорема. Если ряд сходится условно, то сумма ряда S зависит от порядка его членов, и для любого заданного числа А можно так переставить члены ряда, что новая сумма S’=A
Теорема. Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов, сумма ряда S не зависит от порядка его членов.
Если ряд сходится абсолютно, то при произвольной перестановке членов этого ряда… будет сходиться абсолютно, сохранив сумму исходного ряда(см. предыдущий вопрос)
Если ряд сходится условно, то при произвольной перестановке членов этого ряда его *можно сделать расходящимся к любой сумме
Если знакочередующийся ряд сходится, то… ряд из модулей может расходиться (если сходится ряд из модулей, тогда исходный ряд сходится абсолютно; если ряд из модулей расходится, а сам ряд (можно проверить по признаку Лейбница) сходится, то исходный ряд – условно сходящийся) Здесь не указано, какая именно сходимость, так что ряд из модулей может и расходиться.
Если модуль общего члена знакочередующегося ряда монотонно стремится... к нулю, то ряд …сходится (или сходится условно, т.к. сам ряд из модулей может расходится)( по признаку Лейбница – модули членов ряда должны монотонно убывать, а общий член ряда стремиться к нулю). Тут неизвестно!???зависит от вариантов ответов
Если общий член знакочередующегося ряда стремится к …нулю, то сам ряд сходится (или абсолютно или условно, нужны доп.условия). НО: Стремление n-го члена ряда к нулю не является достаточным условием сходимости!! (например, гармонический ряд или ряд, где an=ln(1+(1/n)). Поэтому теоретически ряд может и расходится(????)
Если для членов ряда существует предел отношения an+1/an…двух соседних членов ряда, то ряд.. ряд сходится, если этот предел <1 и ряд положительный (признак Даламбера) (если предел отношения>1, то ряд расходится, если =1, то вопрос о сходимости остается открытым, это для положительных рядов!)
Если члены 2х рядов an и bn таковы, что…возможно тут о признаке сравнения или о предельном признаке сравнения.
Признак сравнения: если при b>a>0 и b сходится, тогда и а сходится. Если а расходится, то и b расходится.
Предельный признак сравнения: если а и в – ряды с положительными членами и существует конечный предел lim(a/b)=q (не равное 0 или бесконечность), тогда ряды сходятся или расходятся одновременно (т.е. если а сх, то и в сх)
Расчет
Радиус сходимости степенного ряда (ряд) равен…( например числу)???, тогда …интервал сходимости имеет вид (-число; число)
(например, радиус сходимости=6, тогда интервал сходимости имеет вид (-6;6))
Второй отличный от нуля коэффициент разложения функций в ряд Тейлора по степеням (х-а)…решение
Количество целых чисел, принадлежащих интервалу сходимости степенного ряда…расчет (найти радиус сходимости и проверить границы+ подсчитать количество целых чисел)
Коэффициент с.. в разложении функции в ряд Тейлора равен... расчет
Частная производная функции z = …по переменной y в точке Мо (..) равна…расчет (если частная производная по у, тогда X воспринимается как постоянная)
Если взять скалярное произведение градиента функции на вектор полного приращения функции в этой же точке… ??не понятно, что имеется в виду. В лекциях: скалярное произведение градиента (вектор, у которого координаты – частные производные функции в точке) на вектор единичного направления = производная функции по направлению (Теорема: производная функции f (М) по направлению l равна скалярному произведению градиента функции в указанной точке и единичного вектора заданного направления)
С другой стороны, смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве. (Логично, т.к. соответствует определению дифференциала - df=f’x(x,y)dx+f’y(x,y)dy (так градиент (f’x(x,y), f’y(x,y)), а вектор полного приращения будет (дельта x, дельта y). Но зависит от вариантов ответа!
Градиент показывает направление наиболее быстрого роста функции.
Вектор, содержащий дифференциалы независимых переменных – это…возможно вектор полного приращения (дельта Х, дельта У) или (dx, dy)
Разность между полным дифференциалом и полным приращением функции… разность между полным приращением и полным дифференциалом функции в данной точке есть бесконечно малая функция более высокого порядка чем
и
.
Согласно определению эквивалентных
БМФ, разность эквивалентных БМФ = БМФ
более высокого порядка. Дифференциал
функции – главная, линейная часть
полного приращения функции (эквивалентная
БМФ)Функция z=… изменяется наиболее быстро…зависит от вариантов, но возможно тут нужно найти градиент (по модулю(как длину вектора) – корень из (f’x^2+f’y^2)), именно он показывает направления наиболее быстрого роста функции. (Производная показывает скорость изменения функции, чем больше производная по модулю, тем быстрее растет функция) Градиент показывает наибольшую производную по направлению.
Линия пересечения графика функции z=..с некоторой плоскостью – это…??????
Непонятно о чем, но возможно о линиях уровня. Линии уровня – это множество точек плоскости, в которых функция принимает одинаковое значение. Геометрически это проекция сечения графика функции некоторой плоскостью с (z=0) на Оху. ЛУ являются проекциями на плоскость линии пересечения графика заданной функции с некоторой горизонтальной плоскостью.
Функция z=… в точке М изменяется наиболее быстро в направлении под углом… - расчет….из лекций:
Произведение Градиента и вектор направления (производная по направлению) будет максимальным при таком направлении, которое образует с градиентом угол в 0 градусов, т.е. совпадает с ним по направлению. Иначе говоря, мах f’L=max(lgrad fl)*cos(0)=grad f, при этом вектор направления совпадает с направлением градиента, который показывает направление наиболее быстрого роста функции.
Если в ответах не будет дано угла=0, тогда нужно считать по скалярному произведению (lgrad fl*L*cos ф, где ф-угол между градиентом и направлением) какая производная по направлению будет наибольшая.
Для существования экстремума функции двух переменных достаточным будет условие…стационарная точка Хо(х,у) имеет и 2е частные производные и 2ой дифференциал, тогда справедливы следующие условия экстремумов: 1) 2ой дифференциал положительно определен, тогда Хо- точка min; 2) 2ой дифференциал отрицательно определен, тогда Хо-точка max;3) если дифференциал не знакоопределен (невырожден), то Хо – не точка экстремума. 2ой дифференциал может быть представлен как квадратичная форма (также может быть записан в форме матрицы – проверка по критериям Сильвестра)
Необходимое условие экстремума ф-ции 2х переменных – если точка (х,у) – точка локального экстремума, то в этой точке частные производные =0 или не существуют, (если функция имеет дифференциал в точке, тогда он тоже=0)
Для функции z=… найти в точке М (градиент по модулю) – расчет..сначала найти частные производные, затем найти модуль (длину, норму) градиента как корень из (f’x(x,y)^2+f’y(x,y)^2))
Надо найти условный экстремум ф-ции w=(x,y,z,u) при …дополнительных условиях. Сколько…
Зависит от вариантов ответа, но скорее всего здесь необходимо подсчитать количество уравнений частных условий функции Лагранжа (метода множителей Лагранжа). Количество частных условий (частных производных функции Лагранжа) = количество переменных (по 1ой частной производной на каждую переменную) + количество дополнительных условий (ограничений)(по 1ой производной на ограничения). Например, у нас дана функция от 4х переменных и 2 доп.условия, значит, количество уравнений частных условий функции Лагранжа = 4+2=6
В обосновании метода Лагранжа используется то, что в точке условного экстремума…?? В лекциях: точки безусловного экстремума (обычного) функции Лагранжа являются точками условного экстремума исходной функции. (Собственно, весь метод и построен на поиске экстремумов функции Лагранжа). Также геометрически точка условного экстремума=точка касания ЛУ функции и линии ограничения (в этой точке градиент функции коллинеарен (параллелен) градиенту функции ограничений – grad f= Л*grad g). Для применения метода необходимо, чтобы условные экстремумы существовали, тогда система уравнений будет иметь одно или несколько решений.
Двойной интеграл по области…можно заменит следующим повторным…?? Зависит от вариантов ответа. Нужно смотреть на область и что идет первым – dy или dx. Иначе говоря, если в области есть а,в, и ограничив. функции от х, то повторный интеграл по х
если в D есть с,d
и огранич.функции по у, то повторный
интеграл по у -
Монотонная и дифференцируемая в интервале функция характерна тем, что для всех точек интервала…возможно о непрерывности… Если функция дифференцируема, то она непрерывна (если функция разрывна, то производная не существует, но если производная не существует – это не значит, что функция разрывна (например, в точке перелома)). Если функция непрерывна в интервале, то она непрерывна в каждой точке интервала. Если функция непрерывна, то она интегрируема. Здесь может быть и об экстремумах (теорема Ферма). Другие теоремы о непрерывности. Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на нем.
Возможно о возрастании и убывании функции.
Точки графика функции, в которых касательная не существует или в которых касательная горизонтальна, это…критические точки( в них производная или не существует, или =0)
При доказательстве необходимого признака экстремума функции используется…если для функции одной переменной, то необходимым признаком экстремума является Теорема Ферма о том, что дифференцируемая в интервале функция в некоторой точке достигает своего макс или мин значения, тогда в этой точке производная = 0 или не существует. В доказательстве теоремы Ферма используются разностное отношение, односторонние производные (отдельно для мах и min), а также теорема, что производная в точке существует ТиТТ, когда существуют и равны ее односторонние производные. Для функции многих переменных этот признак не доказывался.
Функция f(x) =… выпукла в интервале…можно определить по графику, если не удается, то по 2ой производной. Если она отрицательна, тогда функция выпуклая, если положительна, тогда функция вогнутая. Точка, в которой функция меняет направление перегиба – точка перегиба (в ней 2я производная = 0 и меняет знак при переходе через эту точку)
Если для 3х последовательных точек интервала из области определения функции выполняются неравенства…(f(x2)<f(x1) и <f(x3)), то…???зависит от вариантов. Может быть о монотонности, может быть об экстремумах (хотя тут не хватает условий)…Например, можно сказать, что от x1 до х2 функция убывает, а от х2 до х3 возрастает (это не говорит об экстремумах).
Если графики двух функций неограниченно сближаются при х-> (-беск.), то…возможно об асимптотах…может быть о горизонтальных асимптотах (т.к. для их определения необходимо найти предел функции на бесконечности)
Для графиков 3х функций…возможно, нужно найти асимптоты (тогда см. вопросы 31,32)
Укажите вид дифференциального уравнения….решение (нужно проверить все условия, если это однородное или в полных дифференциалах)
Общий интеграл ДУ… имеет вид – решение, общим интегралом ДУ называется его решение в неявном виде или уравнение, задающее общее решение как неявную функцию (одно и то же)
Общее решение ДУ 3ей степени…решение. Определённо можно сказать, что будет 3 корня этого уравнения.
Расчет (здесь про решение ДУ 2го порядка с постоянными коэффициентами)
Расчет (скорее всего линейные ДУ или однородные 1го порядка)
Расчет – замена через Л («лямбда»)
Аналогично.
Из представленных ДУ…самое главное – правильно определить вид ДУ
Без дифференциального исчисления функции многих переменных не решить ДУ вида…для решения ДУ в полных дифференциалах необходимо вычислять частные производные (для того, чтобы проверит условие P’y=Q’X, ну и еще одну частную производную по У для Q’y=(Sp(x)dx+f(y))’y), где затем нужно проинтегрировать f(y)
Найти неопределенный интеграл…задача. Ну тут уже все разнообразие методов решения неопределённых интегралов!))