- •5.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •6.Собственные векторы и собственные значения.
- •7.Прямоугольная и полярная система координат на плоскости.
- •8. Длина вектора. Угол между векторами.
- •14.Комплексные числа. Сумма, произведение, частное, возведение в степень, извлечение корня.
- •15. Замечательные пределы: 1-й, 2-й, 3-й.
- •23.Определение производной. Геометрический смысл производной
- •24. Теорема о дифференцируемости и непрерывности функции.
- •25. Основные формулы и правила дифференцирования.
- •26. Производная сложной функции.
- •27. Производная степенно-показательной функции.
- •28. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
- •29. Дифференциалы высших порядков
- •30. Условие монотонности функции.
- •31.Выпуклость и выгнутость графика функции. Точки перегиба.
- •32.Асимптоты графика функции.
- •33. Необходимые условия существования максимума и минимума функций
- •34. Достаточные условия существования экстремума функций.
- •35. Экстремумы функций нескольких переменных
- •36.Раскрытие неопределенности вида . Теорема 1 Лопиталя (при , при ).
- •37.Раскрытие неопределенности вида . Теорема 2 Лопиталя (при , при ).
- •38.Раскрытие неопределенности вида
- •39.Формула Тейлора и формула Маклорена для многочлена.
- •40.Разложение произвольной функции по формуле Тейлора.
- •41.Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
- •42.Свойства неопределенных интегралов.
- •43. Интегрирование рациональных выражений. Простые дроби, правильные дроби и их интегрирование.
- •44. Основная формула интегрального исчисления. Формула замены переменной в определенном интеграле.
- •45. Несобственные интегралы. Сходимость несобственных интегралов. Понятие абсолютной и условной сходимости несобственных интегралов.
- •46.Нахождение площади плоской фигуры и объема тела вращения.
- •1.Площадь плоской фигуры
- •47.Нахождение длины дуги и площади поверхности тела вращения.
- •48.Комбинаторика. Размещения, размещения с повторением.
- •49.Комбинаторика.Перестановки,перестановки с повторением.
- •50.Комбинаторика.Сочетание,сочетание с повторением.
- •51.Понятие вероятности. Классификация событий. Примеры.
- •53.Формула полной вероятности
- •54. Формула Байеса
- •55. Случайные величины дискретные и непрерывные. Законы распределения случайных величин.
- •56. Закон нормального распределения.
- •57.Математическое ожидание, дисперсия случайной величины.
- •58. Корреляция. Коэффициент корреляции.
45. Несобственные интегралы. Сходимость несобственных интегралов. Понятие абсолютной и условной сходимости несобственных интегралов.
1.Несобственным интегралом a ∫+∞ f(x) dx от функции f(x) на полуинтервале [a, +∞) называется предел функции Ф(t) при t, стремящемся к +∞, т.е.
a ∫+∞ f(x) dx = limt-> +∞ a∫t f(x)dx
2.Если предел, стоящий в правой части равенства
a ∫+∞ f(x) dx = limt-> +∞ a∫t f(x)dx
существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.
3.Понятие абсолютной и условной расходимости интегралов.
Если а) функция непрерывна на промежутке и для всякого существует постоянное такое, что ; б) функция монотонно стремится к нулю при , то сходится интеграл . Признак Абеля. Пусть функции и определены в промежутке , причём а) интеграл сходится; б) функция монотонна и ограничена: ( ). Тогда интеграл сходится.
46.Нахождение площади плоской фигуры и объема тела вращения.
1.Площадь плоской фигуры
Декартовые координаты
Площадь между графиками двух функций равна разности интегралов от этих функций в одинаковых пределах интегрирования
Площадь, заключённая между графиком непрерывной функции на интервале и горизонтальной осью, может быть вычислена как определённый интеграл от этой функции:
Площадь, заключённая между графиками двух непрерывных функций на интервале находится как разность определённых интегралов от этих функций:
2. Объём тела вращения
В частном случае, когда тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией y = f ( x), а ≤ x ≤ b, объем тела вращения вычисляется по формуле
Действительно, сечение тела вращения плоскостью, перпендикулярной оси Ох и проходящей через точку (х, 0), представляет собой круг радиуса f(x). Площадь этого сечения (площадь круга) равна S (x) = π ( f ( x ) )2. Из формулы объёма тела по параллельным сечениям получаем формулу
Замечание. Если криволинейная трапеция 0 ≤ х ≤ φ (у), а ≤ у ≤ b вращается вокруг оси Оу, то объем тела вращения найдём по формуле
47.Нахождение длины дуги и площади поверхности тела вращения.
1.Длина кривой (длина дуги кривой) в метрическом пространстве — числовая характеристика протяжённости этой кривой
Евклидова плоскость
Если плоская кривая задана уравнением то её длина равна:
2. где Q-площадь поверхности вращения.
48.Комбинаторика. Размещения, размещения с повторением.
Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий задачи на составление различных комбинаций из заданного множества элементов. Существуют разделы комбинаторики: размещения, размещения с повторением, перестановки, перестановки с повторением, сочетания, сочетания с повторением.
В комбинаторике размещением называется расположение «предметов» на некоторых «местах» при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны. Более формально, размеще́нием (из n по k) называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.
Например, — это 4-элементное размещение 6-элементного множества .
Количество размещений из n по k, обозначаемое , равно убывающему факториалу:
Размещение с повторениями или выборка с возвращением — это размещение «предметов» в предположении, что каждый «предмет» может участвовать в размещении несколько раз. По правилу умножения количество размещений с повторениями из n по k равно:
Например, количество вариантов 3-x значного кода, в котором каждый знак является цифрой от 0 до 9 и может повторяться, равно: