Задание 4. Непрерывность функции и точки разрыва

Функция называется непрерывной в точке , если в этой точке выполняется равенство:

,

(11)

то есть, если правый предел функции в той точке равен левому пределу и равен значению функции в точке .

Если же условие (11) нарушается, то говорят, что функция имеет разрыв в точке . В этом случае, если хотя бы один из пределов, правый или левый равен , то точка называется точкой разрыва 2-го рода. Если же оба указанных предела конечны, то точка называется точкой разрыва 1-го рода.

Пример:

Найти точки разрыва функции если

Рис.3. Точка разрыва первого рода

Естественно, что на интервалах , и функция непрерывна, так как представляет собой элементарные функции. Проверке подлежат только точки и .

Рассмотрим точку .

.

.

Вычислим односторонние пределы

,

.

Так как односторонние пределы не совпадают, но конечны, - точка разрыва функции 1-го рода.

Рассмотрим точку .

,

,

.

- точка непрерывности функции, так как в ней выполнено условие непрерывности (11).

Задание 5. Производная функции

Для нахождения производной функции надо воспользоваться правилами дифференцирования и таблицей производных.

Правила дифференцирования:

Если и - дифференцируемые функции, а , то

,	(12)
,	(13)
,	(14)
	(15)

Если и - дифференцируемые функции, то

.

(16)

Некоторые формулы из таблицы производных:

,

(17)

, n – Const,

(18)

	(19)
	(20)

Пример:

Найти производную функции .

Воспользуемся формулами (19) и (16):

Так как, с учетом формул (15), (17), (18):

,

то окончательно получаем:

.

Задание 6. Исследование функции

Исследование функции включает в себя следующие пункты:

1. Область определения функции (множество значений х, для которых функция определена);

2. Множество значений функции (множество всех возможных значений у, которые принимает функция);

3. Непрерывность и точки разрыва (указать соответствующие области - см. задание 4);

4. Монотонность (указать промежутки возрастания и убывания функции).

Промежутки монотонности можно найти, используя свойство производной, а именно:

если производная положительна, то функция возрастает;

если производная отрицательна, то функция убывает.

5. Экстремумы функции (указать точки минимума и точки максимума).

Точки экстремума можно найти, зная значения производной, а именно:

если производная обращается в ноль в точке и при переходе через эту точку меняет знак с "+" на "-" (с "-" на "+"), то в точке функция имеет максимум (минимум);

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Для нахождения этих характеристик потребуется знание второй производной . А именно, интервалы, на которых вторая производная отрицательна (положительна) являются интервалами выпуклости (вогнутости). Точки, в которых вторая производная равна нулю и меняет знак - есть точки перегиба.

Пример: Исследовать функцию .

1. Область определения - вся числовая ось, так как функция определена для любых значений х.

2. Множеством значений функции служит также вся числовая ось, так как функция непрерывна и при неограниченно возрастает, а при стремится к " ".

3. Функция является непрерывной и не имеет точек разрыва, так как дифференцируема во всех точках.

4. Для определения интервалов монотонности найдем производную:

.

Методом интервалов находим, что при функция является возрастающей, так ее производная положительна, а при - функция убывает, так как ее производная отрицательна.

5. Точкой минимума функции является точка , так как производная в ней обращается в ноль, а при переходе через нее меняет знак с "-" на "+".

Точкой максимума функции является точка , так как производная в ней обращается в ноль, а при переходе через нее меняет знак с "+" на "-".

6. Найдем вторую производную:

,

откуда видно, что при функция является вогнутой, так как вторая производная положительна, а при - выпуклой (вторая производная отрицательна); точка - есть точка перегиба.

Строим график функции:

Рис.4. График функции