§41. Правило переходов
Оно
является следствием из критерия Найквиста
и позволяет обойтись без подсчета числа
охватов опасной точки, что существенно
в сложных случаях.
Введем понятие перехода АФХ.
Положительным называется переход АФХ через отрезок [-1; -] вещественной оси, совершаемый при возрастании в направлении сверху вниз. При обратном направлении переход называется отрицательным. Если АФХ начинается на указанном отрезке (см. пр. № 2 § 8), то это считается за половину перехода того или иного знака.
Одному охвату опасной точки в положительном направлении соответствует разность между числом положительных и отрицательных переходов равная +1. Если разность равна -1, то это соответствует одному охвату в отрицательном направлении. Если разность равна нулю или переходов нет вообще, то АФХ не охватывает опасную точку.
Формулировка правила переходов:
Замкнутая система устойчива, если разность между числом положительных и отрицательных переходов АФХ разомкнутой системы равно l /2, где l - число правых корней характеристического уравнения РСАР.
При l = 0 получим частный случай для устойчивой разомкнутой системы. Если предположить, что l = 0 для приведенного в качестве примера графика, то ЗСАР устойчива, т. к. разность переходов равна нулю.
При наличии в характеристическом уравнении РСАР корней на мнимой оси необходимо произвести дополнение АФХ (см. §8) и учитывать также переходы, совершаемые дугой бесконечно большого радиуса.
Наибольшее применение на практике правило переходов имеет для ЛЧХ.
Чтобы прийти к формулировке правила для ЛЧХ, следует заметить, что переходы АФХ имеют следующие свойства:
1. L() > 0, т.к. W(j)>1 ,
2. () = ; 3; 5 ...
3. () возрастает для положительного перехода и убывает для отрицательного перехода.
Отсюда следует правило переходов для ЛЧХ:
ЗСАР устойчива, если в области частот, где ЛАХ L() > 0, разность между числом переходов ЛФХ через линии ; 3 ... в направлении увеличения фазы (т.е. снизу вверх) и в направлении уменьшения фазы (т.е. сверху вниз) при возрастании равно l/2.
При наличии нулевых и мнимых корней у РСАР ЛФХ следует дополнить соответственно известному дополнению АФХ.
При любой формулировке правила переходов в общем случае разность между числом положительных и отрицательных переходов составляет 0,5(l - m), что позволяет определить при неустойчивой ЗСАР число правых корней m в ее характеристическом уравнении.
Пример.
Применим правило переходов к ЛФХ
статической системы 3-го порядка (пр. №
1 § 8). На рисунке
показаны ЛЧХ, где при L(ω)>0
разность между числом переходов ЛФХ
снизу вверх и сверху вниз равна –1.
Значит0,5(l-m)=-1,
и при l=0 имеем
,
т.е. ЗСАР неустойчива.
При монотонном характере ЛФХ правило переходов сводится к требованию выполнения неравенства c < . При равенстве c = имеет место колебательная граница устойчивости.
§42. Запасы устойчивости
Запасы устойчивости - это величины, которые количественно характеризуют удаление устойчивой системы от границы ее устойчивости. Наиболее просто и в соответствии с физическим смыслом эти запасы определяются по критерию Найквиста и бывают двух видов:
1) Запас устойчивости по усилению A характеризует удаление АФХ от опасной точки при частоте .
L= -L (). Обычно L=(10÷14)дБ.
Зная L можно найти Кгр, исходя из того, что на величину L ЛАХ следует поднять для выхода на границу устойчивости:
20lgКгр = 20lgК + L
Отсюда следует, что
Запас устойчивости по фазе =180- (c) определяется при частоте среза с и по физическому смыслу показывает, насколько должно увеличиться запаздывание по фазе РСАР при этой частоте, чтобы замкнутая система вышла на границу устойчивости.
Для практики обычно достаточен запас =(10 30).