3. Понятие аналитической функции

Определение. Функция f(z) называется аналитической (голоморфной, регулярной, правильной) в точке , если она дифференцируема в каждой точке некоторой окрестности точки .

Заметим, что необходимо различать понятие дифференцируемости в точке и понятие аналитичности в точке:

f(z) дифференцируема в точке ,

f(z) аналитическая в точке

Определение. Функция f(z) называется аналитической в области G, если она дифференцируема в каждой точке этой области. Т.е. понятия дифференцируемости и аналитичности в области совпадают.

Примеры.

1) - аналитическая на .

2) аналитическая на .

3) аналитическая на .

4) нигде не является аналитической, так производная существует только в точке (см. пример 2 п.2).

4. Гармонические функции

Определение. Дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка называется уравнением Лапласа.

Обозначим тогда -краткая запись уравнения Лапласа.

Определение. Действительная функция двух действительных переменных называется гармонической на области G, если она имеет непрерывные частные производные второго порядка и на G удовлетворяет уравнению Лапласа.

Определение. Две гармонические функции, связанные условиями Коши – Римана, называются сопряжёнными гармоническими функциями.

Позже будет доказано, что производная аналитической функции сама является аналитической функцией. Используем этот факт при доказательстве следующей теоремы.

Теорема 5. Для того чтобы функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) была аналитической в области G необходимо и достаточно, чтобы её действительная и мнимая часть были сопряжёнными гармоническими функциями.

Доказательство.

1) Пусть f(z)=u(x,y)+iv(x,y) аналитическая в некоторой области G. Тогда по теореме 2 u(x,y) и v(x,y)-дифференцируемые функции двух действительных переменных и удовлетворяют условиям Коши – Римана:

.

Производная может быть представлена в одном из видов:

или .

Так как производная аналитической функции является аналитической функцией, то и тоже дифференцируемые функции двух действительных переменных и удовлетворяют условиям Коши – Римана.

Применим к паре функций и первое условие Коши– Римана, а для функций и - второе:

, ,

, (7) , (8)

т.е. u и v удовлетворяют уравнению Лапласа.

Покажем, что u(x,y) и v(x,y) имеют непрерывные частные производные второго порядка. Т.к. f(z) - аналитическая функция, то -тоже аналитическая функция.

Дифференцируя по x, получим .

Из (7), (8) .

Дифференцируя по y, получим ,

т.е. является аналитической функцией и может быть представлена в одном из видов:

.

Значит, все частные производные второго порядка являются (по теореме 2) дифференцируемыми в области G функциями, следовательно, они непрерывны.

Итак, u(x,y) и v(x,y) имеют в G непрерывные частные производные второго порядка, удовлетворяют уравнению Лапласа и условиям Коши – Римана. Значит, они являются сопряжёнными гармоническими функциями.

2. Пусть u(x,y) и v(x,y) какие – либо сопряжённые гармонические в области G функции. Так как они дифференцируемы и удовлетворяют условиям Коши – Римана, то по теореме 2 функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) является дифференцируемой в G и, следовательно, она аналитическая в G. .

Из теоремы 5 следует, что действительной или мнимой частью аналитической функции может быть только гармоническая функция.

Например, не существует аналитической функции f(z), у которой Действительно, функция не является гармонической ни в какой области G.

, , , .

. Следовательно, только на прямой (не является областью). Значит, u(x,y) не является гармонической ни в какой области G из .