- •§1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.Понятие комплексного числа. Действия над комплексными числами
- •2. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
- •3. Комплексная плоскость как метрическое пространство
- •§2.Последовательности комплексных чисел. Предел последовательности
- •§3. Расширенная комплексная плоскость
- •§4. Функции комплексного переменного
- •1. Комплексно-значные функции действительной переменной
- •2. Кривые на комплексной плоскости
- •3.Функции комплексного переменного
- •§5. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •1. Предел функции комплексного переменного
- •2.Непрерывность функции комплексного переменного
- •§6. Геометрическая интерпретация функции комплексного переменного
- •§7.Дифференцирование функции одной комплексной переменной
- •1.Производная функции комплексной переменной
- •2. Необходимые и достаточные условия
- •3. Понятие аналитической функции
- •4. Гармонические функции
- •5. Восстановление аналитической функции
- •6. Геометрический смысл аргумента и модуля производной
- •7. Понятие о конформном отображении
- •§8. Простейшие элементарные функции комплексной переменной
- •1. Линейная функция
- •2. Дробно-линейная функция
- •3.Многочлен
- •4. Показательная функция
- •5. Тригонометрические функции
- •6. Гиперболические функции
- •7. Области однолистности аналитических функций. Обратные функции
- •8. Степенная функция и радикал
- •9. Логарифмическая функция
- •10. Общие степенная и показательная функции
- •§9. Интегрирование функций комплексного переменного
- •1.Понятие интеграла
- •2.Вычисление интеграла от функции комплексного переменного
- •3.Основные свойства интеграла от функции комплексного переменного
- •§10. Интегральная теорема Коши
- •§11. Первообразная
- •§12. Интегральная формула Коши и ее следствия
- •1. Интегральная формула Коши
- •2. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
- •3. Теорема Морера
- •4. Теорема о среднем
- •5. Принцип максимума модуля аналитической функции
§1. Комплексные числа и действия над ними
1.Понятие комплексного числа. Действия над комплексными числами
Определение. Комплексным числом α называется упорядоченная пара (a;b) действительных чисел а и b, то есть α= (a;b) , а,b .
Множество комплексных чисел обозначается , то есть
={α=(a;b) | а,b }.
Комплексные числа α1 =(a1;b1) и α2=(a2;b2) называются равными, если a1=a2, b1=b2.
Пусть α=(a;b) . Первая компонента пары называется вещественной (или действительной) частью, а вторая – мнимой частью комплексного числа α. Обозначается: a=Reα, b=Imα.
Определение. Суммой комплексных чисел α1=(a1;b1) и α2=(a2;b2) называется комплексное число β=α1 +α2 =(a1 +a2; b1 +b2).
Определение. Произведением комплексных чисел α1=(a1;b1) и α2=(a2;b2) называется комплексное число β=α1·α2=(a1·a2-b1·b2; a1·b2+a2·b1).
Легко проверить, что операции сложения и умножения комплексных чисел подчиняются известным пяти законам арифметики:
1) α1 +α2=α2 +α1 (коммутативность сложения),
2) α1 ·α2=α2 ·α1 (коммутативность умножения),
3) α1 +(α2 +α3)=(α1+α2)+α3 (ассоциативность сложения),
4) α1 ·(α2·α3)=(α1·α2)·α3 (ассоциативность умножения),
5) α1 ·(α2+α3)=α1·α2+α1·α3 (дистрибутивность умножения относительно сложения).
При b=0 комплексное число α =(а;0) отождествляется с действительным числом а. То есть множество действительных чисел является частью множества комплексных чисел. Из определения сложения и умножения следует, что
(а1 ;0)+(а2 ;0)=(а1+а2;0),
(а1 ;0)·(а2 ;0)=(а1·а2;0),
т.е. операции над комплексными числами вида (а;0) совпадают с операциями над действительными числами.
При а=0 комплексное число α=(0;b) называется чисто мнимым. Комплексное число 0=(0;0) называется нулем. Комплексное число 1=(1;0) называется единицей, комплексное число i=(0;1) называется мнимой единицей.
Из определения сложения и умножения следует, что справедливы равенства:
α +0=α,
α·0=0,
α·1=α,
i·i=i2=-1,
i3 =i2·i=(-1)·i=-i,
i4 =i3·i=-i·i=-i2 =-(-1)=1.
Следовательно, m,n
i4·m+n=in.
Например, i59 = i4·14+3 =i3=-i.
На основе равенства i·b = (0;1)·(b;0)=(0;b) получается алгебраическая форма записи комплексного числа α=(a;b)=(а;0)+(0;b)=a+i·b,
α=а+i·b.
То есть всякое комплексное число α=(a;b) может быть представлено в виде суммы действительного числа а и чисто мнимого числа b·i.
Определение. Пусть α=а+i·b. Комплексное число =а–i·b называется сопряженным к числу α=а+i·b.
Из определения умножения получаем, что α· =a2+b2 .
Определение. Разностью двух комплексных чисел α1=(a1;b1) и α2=(a2;b2) называется комплексное число β, удовлетворяющее равенству α2+β=α1.
Очевидно, β=(a1–a2;b1-b2).
Определение. Делением комплексного числа α1 на комплексное число α2≠0 называется операция обратная умножению.
Под символом понимается число β, удовлетворяющее равенству α·β=1. Умножая обе части этого равенства на , находим β= .
Определение. Частным комплексного числа α1 и α2 ≠0 называется комплексное число β, такое что β·α2=α1.
Заметим, что понятие «меньше», «больше» для комплексных чисел не определяются.
Величину z=(x;y), где х,у – действительные переменные, будем называть комплексной переменной.