3. Комплексная плоскость как метрическое пространство

На множестве метрика задаётся следующим образом:

ρ(z₁,z₂)=|z₁-z₂|, z₁,z₂ .

Так как |z₁-z₂|= , то метрика в совпадает с метрикой в . В метрическом пространстве естественным образом вводятся характерные для метрического пространства понятия окрестности, внутренней, внешней, граничной, предельной точки, открытого, замкнутого, ограниченного множества, области и другие.

§2.Последовательности комплексных чисел. Предел последовательности

Пусть {z_n}: z₁, z₂, …, z_n, … - последовательность комплексных чисел.

Определение. Комплексное число z₀ называется пределом числовой последовательности {z_n}, если ρ(z_n ,z₀)=|z_n-z₀| 0.

Это можно записать следующим образом:

ε>0 N : n>N  |z_n-z₀|<ε.

Геометрический смысл. Точка z₀ является предельной точкой последовательности {z_n}, если какой бы малый круг радиуса ε с центром в точке z₀ ни взять, всегда можно указать номер N, начиная с которого все члены последовательности лежат в этом круге.

Определение. Если последовательность {z_n} имеет конечный предел, то она называется сходящейся.

Теорема 1. .

Доказательство.

1) Пусть . Тогда ε>0 N :n>N выполнено |z_n-z₀|<ε.

Так как |Re(z_n-z₀)|≤|z_n-z₀|<ε, то , отсюда .

Так как |Im(z_n-z₀)|≤|z_n-z₀|<ε, то , отсюда .

2) Пусть и .

По определению ε>0 N₁ : n>N₁ |Rez_n–Rez₀|=|Re(z_n-z₀)|< ,

ε>0 N₂ : n>N₂  |Imz_n–Imz₀|=|Im(z_n-z₀)|< .

Пусть N=max{N₁,N₂}. Тогда n>N для выбранного ε>0

|z_n-z₀|<|Re(z_n-z₀)|+|Im(z_n-z₀)|< , следовательно .

Пример 1. ∆ а) ; .

б) . Т.к. не существует, то не существует. ∆

Для решения вопроса о сходимости { z_n} можно рассмотреть вместо последовательностей {Rez_n} и {Imz_n} так же последовательности {|z_n |} и {arg z_n}. Рассмотрим в начале пример.

Пример 2. .

∆ По теореме 1 . Покажем, что, однако, {arg z_n} – расходится.

Если n=2k, то . Следовательно, .

Если n=2k+1, то . Следовательно, .

, . Следовательно, не существует.

Итак, из того, что , в общем случае не следует, что . Но и здесь можно найти сходящуюся последовательность {Arg z_n }, сходящуюся к Arg z =π . Обозначим через φ_n значение Arg z_n , заключённое между 0 и 2π: 0<φ_n<2π. Тогда, очевидно, , . Следовательно, .

Итак, для значения Arg z=π существует последовательность {Arg z_n } сходящаяся к π. ∆

Теорема 2. Пусть {z_n} - последовательность комплексных чисел.

1) Если  и , то  .

2) Если  , то

а)  ,

б) если z0, то φ =Arg z φ_n={Arg z_n }: . В частности, если , то .

Доказательство.

1) Так как , то

, .

Тогда по теореме 1 .

2) а) Так как , то по теореме 1 .

Тогда .

б) Пусть и φ – какое-либо значение Arg z. Тогда, начиная с некоторого N, все члены последовательности {z_n} будут лежать внутри угла, образованного лучами, наклоненными под углами φ- и φ+ к оси ОХ и содержащего точку z. Поэтому для аргументов Argz_N+1, Arg z_N+2 ,… можно выбрать значения φ_N+1, φ_N+2,… так, чтобы выполнялось условие |φ_N+n–φ| .

В озьмем также φ₁=Arg z₁, φ₂=Arg z₂,...,φ_N=Argz_N. Тогда получим последовательность φ_n. Покажем, что .

ε: 0ε N₁(ε)≥N такой, что точки последовательности {z_n }, для которых nN₁(ε), будут лежать внутри угла, образованного лучами, наклоненными к оси ОХ под углами φ-ε и φ+ε и содержащего точку z. Для них значения φ_n удовлетворяет условию: φ–εφ_nφ+ε  |φ_n-φ|ε  .

Отметим, что если , то в качестве φ и φ_n можно выбрать главные значения аргументов, тогда получим .

Следствие.  .

Теорема 3 (критерий Коши сходимости последовательности комплексных чисел).

Для того, чтобы последовательность комплексных чисел {z_n} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы ε>0 N : n>N, m выполнялось |z_n+m–z_n|<ε.

Доказательство.

1) Пусть . Тогда ε>0 N : n>N выполняется |z_n–z|< .

Тогда |z_n+m–z_n|=|z_n+m–z+z-z_n|≤|z_n+m–z|+|z_n–z|< + =ε m .

2) Пусть ε>0 N : n>N, m выполняется |z_n+m–z_n|<ε. Тогда |Re(z_n+m–z_n)|=|Rez_n+m –Rez_n|<ε и |Im(z_n+m–z_n)|=|Imz_n+m–Imz_n|<ε. Следовательно, последовательности действительных чисел {Rez_n и {Imz_n фундаментальные. Согласно критерию Коши сходимости последовательности действительных чисел они сходятся (последовательность фундаментальна тогда и только тогда, когда она сходится). То есть  и  Тогда по теореме 1  . Следовательно, {z_n } сходится.