§12. Интегральная формула Коши и ее следствия

1. Интегральная формула Коши

Теорема. Пусть функция f(z) аналитическая в односвязной области D, L-произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур, лежащий в D. Тогда для любой точки z₀, лежащей внутри контура L, справедлива формула:

, (1)

где L обходится в положительном направлении.

(1) - интегральная формула Коши. Она выражает значения аналитической функции внутри контура через её значения на контуре.

Доказательство.

Пусть z₀- произвольная точка, лежащая внутри контура L. Рассмотрим окружность γ_r: |z-z₀|=r , где r выберем так, чтобы γ_r лежала внутри L. В двусвязной области, ограниченной контурами L и γ_r, функция является аналитической, следовательно, она аналитическая и на области . Тогда по следствию из теоремы Коши:

. (2)

Из (2) следует, что значение не зависит от радиуса окружности γ_r.

Из (2) следует, что для доказательства (1) достаточно показать, что

. (3)

Так как , то или

. (4)

Из (3) и (4) следует, что для доказательства (1) надо доказать, что

. (5)

Заметим, что интеграл в (5) не зависит от r .

Возьмем . Так как f(z) аналитическая на D, то f(z) непрерывна в точке z₀D. Тогда выполнено .

Если γ_r такая, что r<δ, то выполнено |z-z₀|=r<δ  |f(z)-f(z₀)|<ε.

. (6)

Так как ε>0 – произвольное сколь угодно малое число, а значение интеграла не зависит от r, то (6) может быть выполнено только если , то есть выполнено (5), а значит, выполнено (1).

Следствие . Если две аналитические в односвязной области D функции f(z) и g(z) совпадают на замкнутом контуре LD, то они совпадают и внутри контура L.

Замечание. Если точка z₀ лежит вне контура L, то .

Действительно, в этом случае является аналитической не только на L, но и внутри L, следовательно, применима интегральная формула Коши, согласно которой этот интеграл равен 0.

Итак,

П ример.  а) .

z₀=-i лежит внутри окружности |z-1|=3, f(z)=sinz– аналитическая на , следовательно, по интегральной формуле Коши:

.

б) . Функция аналитическая в области , содержащей окружность |z-i|=1, следовательно, по интегральной формуле Коши =0. 

2. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции

Теорема. Всякая функция f(z), аналитическая в области D, имеет производные всех порядков на этой области, и для z₀D справедлива формула:

, (7)

где L – произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, целиком лежащий в D и содержащий внутри себя точку z₀.

Доказательство.

Проведем для n=1. Возьмем z₀D и окружность γ_r: |z-z₀|=r такую, чтобы γ_r находилась внутри L. Тогда и круг |z-z₀|≤r будет целиком лежать в D. Применим интегральную формулу Коши:

.

Возьмем ∆z: z₀+∆z {z:|z-z₀|≤r}. Тогда

.

.

Покажем, что .

Рассмотрим

. (8)

Так как f(z) аналитическая на D, то она непрерывна на D. Так как L-ограниченное замкнутое множество, то f(z) ограничена на L, то есть .

.

Тогда из (8) по свойству 5 получим:

Следовательно, .

То есть, , значит, (7) справедлива для n=1.

Методом математической индукции доказывается, что (7) верно .

Замечание 1. Из (7) следует, что

. (9)

Замечание 2. В теореме установлено, что если f(z) имеет производную в любой точке z из области D, то она в каждой точке этой области имеет производную любого порядка. Следовательно, все производные аналитической функции являются непрерывными. В частности, если  f(z) на D, то она обязательно непрерывна. Для действительной функции действительной переменной это выполняется далеко не всегда. Например, , , f(x) дифференцируема на , - не дифференцируема в точке x=0.

П ример 1. Вычислить

Δ f(z)=e^z - аналитическая на , z₀=1, n+1=3, следовательно, n=2. По формуле (9):

. Δ

Пример 2. Вычислить , где L - произвольный кусочно–гладкий замкнутый контур.

Δ Рассмотрим 2 случая:

1. L- кусочно–гладкий замкнутый контур, такой что z=i лежит внутри L;

2. z=i лежит вне контура L.

а) f(z)=z ²- аналитическая на , z₀=i, n=3. Следовательно, .

f (z)=2z, f (z)=2, f (z)=0. Следовательно, I=0.

b) I=0 на основании интегральной теоремы Коши.

Из a), b) следует что по любому кусочно–гладкому замкнутому контуру, такому, что iL. Δ