3.Основные свойства интеграла от функции комплексного переменного

Все кривые являются простыми и гладкими.

1 Линейность интеграла

.

2 Аддитивность

Если ( где и не имеют общих точек за исключением начала и конца ), то

.

3 , где - кривая L, пройденная в противоположном направлении.

Доказательство свойств 1-3следует из определения интеграла и из свойств криволинейных интегралов II типа от функции действительной переменной.

4 , где s –длина дуги, отсчитываемая от начала L до произвольной точки в выбранном направлении.

.

Т.к. -длина хорды, то - где длина дуги , следовательно, . Переходя к пределу при , получим .

5 Если , то , где L –длина кривой L.

5 .

§10. Интегральная теорема Коши

Рассмотрим . Он зависит от функции f(z) и от вида кривой L. Возникает вопрос: каким условиям должна удовлетворять функция f(z), чтобы интеграл не зависел от пути интегрирования L, а определялся начальной и конечной точками кривой.

Как и в случае криволинейного интеграла II рода независимость интеграла от пути интегрирования равносильна равенству нулю этого интеграла по любому замкнутому контуру.

Теорема. не зависит от пути интегрирования на области D тогда и только тогда, когда по любому кусочно-гладкому контуру .

Доказательство.

( ) Пусть , где и -кривые, лежащие в D и соединяющие точки A и B. Тогда , где .

( ) Пусть , где C - кусочно-гладкий замкнутый контур, . Разобьем C точками A и B на кривые и так, что . Тогда

Для доказательства интегральной теоремы Коши нам понадобится следующая

Л емма. Пусть f(z)- непрерывная в области G функция, L - произвольная кусочно - гладкая линия, LG. Тогда >0 существует ломаная P, вписанная в L, PG, такая что

.

Доказательство.

Разобьём L на частичные дуги , ,…, s_k – длина ). Впишем в L ломаную P, звенья которой стягивают дуги . Точки z₀, z₁,…,z_n – вершины ломаной P. Звенья ломаной (и их длины) обозначим через l_k , k=

Рассмотрим сумму

S=f(z₁)z₁+f(z₂)z₂+…+f(z_n)z_n . (4)

S является интегральной суммой для интеграла , в которой в качестве точек _k взяты точки z_k. Так как f(z) – непрерывна в G, а L – кусочно – гладкая линия, то ( ), т.е. >0 ₁>0: T: <₁ 

. (5),

Оценим . Так как , то (4) примет вид:

. (6)

С другой стороны, . (7)

Вычтем (6) из (7):

.

Так как функция f(z) непрерывна в G, то она равномерно непрерывна на любом ограниченном замкнутом множестве точек из G. Следовательно, она непрерывна на ломаной P. По определению равномерной непрерывности: для выбранного числа >0 ₂>0: z, zP: |z-z|<₂ выполнено . Пусть <₂. Так как k на звене l_k |z-z_k|< l_k<<₂, то . Тогда

. (8)

Выберем =min{₁;₂}. Из (5) и (8) получим: >0 >0: T: < выполнено

.

Итак, в линию L всегда можно вписать ломаную P так, что разность значений будет меньше любого наперёд заданного числа.

I. Случай односвязной области

Теорема (Коши). Если f(z) аналитическая в односвязной области G функция, то , где L- любой замкнутый контур, лежащий в G.

Доказательство.

Согласно лемме в линию L можно вписать ломаную P так, что

.

Следовательно, если мы докажем, что , то отсюда будет следовать что и, значит, .

Следовательно, теорему достаточно доказать для случая, когда контуром интегрирования является ломаная P.

Далее: данный многоугольник с периметром P можно разбить на треугольники. Тогда , так как по AC, DA интегрирование совершается два раза в противоположных направлениях. Следовательно, если допустить, что теорема Коши доказана для случая, когда контуром интегрирования является любой треугольник, то из последнего равенства будет следовать, что .

И так, докажем, что если f(z) – аналитическая в области G функция, то , где - периметр любого треугольника, лежащего в G.

Положим и докажем, что M=0.

Р азделим стороны треугольника пополам и соединим точки деления. Треугольник, таким образом, разобьётся на четыре равных треугольника ₁, ₂, ₃, ₄.

.

Так как , то существует периметр _k:

.

С этим треугольником _k=⁽¹⁾ поступим так же, как и с , разбив на четыре разных треугольника. Следовательно, существует треугольник с периметром ⁽²⁾⁽¹⁾: .

Этот процесс продолжим неограниченно, получим последовательность треугольников с периметрами =⁽⁰⁾, ⁽¹⁾, ⁽²⁾,…, ⁽ⁿ⁾,…, из которых каждый содержит следующий и таких, что:

(n=0,1,…). (9)

Обозначим периметр  через U. Тогда периметр .

Оценим . Имеем {⁽ⁿ⁾} – последовательность вложенных треугольников. Их периметры стремятся к 0 при n. Следовательно, существует точка z₀, принадлежащая всем треугольникам последовательности {⁽ⁿ⁾}. Так как z₀G, а f(z)-аналитическая в G, то . Следовательно, >0 ()>0: z: |z-z₀|< выполнено , отсюда

. (10)

Начиная с достаточно большого номера n₀, треугольник ⁽ⁿ⁾ будет находиться в круге и, следовательно, для оценки можно использовать (10). Заметим, что

,

так как и (см. пример о ).

Тогда .

Так как z₀⁽ⁿ⁾, то (расстояние между z и z₀ меньше периметра).

Следовательно,

. (11)

Из (9) и (11) следует . Так как - произвольное сколь угодно малое число, то переходя к пределу при 0, получим M=0. Следовательно, .

II. Случай многосвязной области

Пусть D- многосвязная область, граница которой L состоит из внешнего контура L₀ и внутренних L₁, L₂,… L_n, , (D- (n+1)-связная область).

Определение. Положительным обходом границы L многосвязной области D называется такое направление обхода каждого контура, при котором область D остаётся всё время слева.

Теорема (Коши). Пусть f(z) – аналитическая в области G, D – многосвязная область, которая вместе со своей границей L целиком лежит в G. Т огда , где интеграл берётся в положительном направлении.

Доказательство.

Рассмотрим случай n=2: . Соединим контуры L₁ и L₂ c внешним контуром L₀ линиями l₁, l₂ (l₁ и l₂ выберем так, чтобы они не пересекались). Т.о., мы получим односвязную область D^*, которая ограничена кривыми L₀, L₁, L₂, l₁, l₂, причём l₁, l₂ проходятся дважды в противоположных направлениях.

. – граница D^*. По предыдущей теореме Пользуясь свойством аддитивности интеграла получим:

Следствие. Если l₁ и l₂ кусочно – гладкие замкнутые кривые ограничивающие кольцеобразную область в области G, и функция f(z) – аналитическая в G, то .

Пример 1.  по любому кусочно- гладкому замкнутому контуру, так как f(z)=z³-3z - аналитическая в . 

П ример 2.  , если L ограничивает область, не содержащую точек z=0 и z=1.

- аналитическая в . Поэтому если L=L₁={z:|z+2|<1}, то . А если или , то теорему Коши применять нельзя. 

П ример 3. Даны два интеграла и . Равны ли они?

 Применим следствие. Рассмотрим область . - аналитическая в D. Окружности |z|=2 и |z|=3 ограничивают кольцеобразную область в D. Следовательно (по следствию)

. 

Пример 4. Доказать, что по любому кусочно –гладкому замкнутому простому контуру, охватывающему (один раз) точку a.

 Пусть C-окружность с центром в точке а радиуса r: , или C: z=a+re^i, 02, d z= ire^id. Тогда

.

Выберем r настолько малым, чтобы С лежала внутри контура L. В качестве области G возьмём . Тогда - аналитическая в G. Кривые C и L образуют кольцеобразную область. Значит (по следствию), . Следовательно, по любому кусочно - гладкому контуру L, охватывающему точку а. 