8. Степенная функция и радикал
Определение.
Степенной
называется функция вида
.
Если
,
то
.
Следовательно,
-
многолистная функция.
,
при
.
Следовательно,
-аналитическая
в
функция.
Функция
обладает основными свойствами функции
действительного переменного:
.
Найдем
области однолистности функции
.
Выберем
произвольные
,
С
ледовательно,
областью однолистности функции
будет любой угол с вершиной в начале
координат и раствором
:
Если
,
то
.
Рассмотрим
радикал
-
функцию обратную к функции
.
Пусть
т.е.
,
тогда
.
Следовательно,
радикал имеет n
различных значений, которые выражаются
формулой
Следовательно,
функция
является
многозначной (n
– значной). Эти n
значений располагаются в вершинах
правильного n
– угольника, вписанного в окружность
.
При
и
получаем по одному значению функции
и
.
Чтобы
выделить однозначную ветвь, достаточно
указать, в какой области однолистности
изменяется w.
Мы установили выше, что областью
однолистности функции
является
угол с вершиной в начале координат и
раствором
:
Любой
луч плоскости (
)
при
отображении
переходит
в луч плоскости (z):
.
Если луч
пробегает
область
против хода часовой стрелки, то луч
пробежит всю плоскость (z)
от
до
.
Следовательно, любая из областей
однолистности
перейдет в одну и ту же область
плоскости (z):
угол раствора 2π,
границей которой служит луч
.
Т
аким
образом, в области
получаем n
однозначных ветвей функции
Каждая из них определяется условием,
что ее значения
принадлежат области
.
Будем обозначать эти ветви
.
Т.к.
имеет
отличную от нуля производную во всех
точках
,
то обратные функции
имеют отличные от нуля производные:
.
Зафиксируем
какое-либо значение
.
Пусть точка z
описывает в плоскости (z)
некоторую кривую, содержащую внутри
начало координат. Тогда после полного
обхода Argz
изменится на 2π
(увеличится, если – против хода часовой
стрелки и уменьшится, если по ходу).
Следовательно, значение
в первом случае перейдет от
к
(
перейдет в
),
а во втором - от
к
(
перейдет к
).
Определение. Точка, обладающая тем свойством, что обход вокруг нее переводит от одной ветви многозначной функции к другой, называется точкой разветвления этой функции.
Таким
образом, точка z=0
– точка разветвления для функции
.
Так как полный поворот от одной ветви
многозначной функции к другой на угол
2
является
в тоже время и полным оборотом вокруг
точки z=
(то есть обход по окружности бесконечно
большого радиуса с центром в начале
координат), то z=
- тоже точка разветвления.
Итак, многозначная функция имеет 2 точки разветвления: z=0 и z=.
Если после n-кратного обхода вокруг точки разветвления вновь возвратимся к исходной ветви, но говорят, что эта точка является точкой разветвления (n-1)-го порядка. Следовательно, z=0 и z= - точки разветвления (n-1)-го порядка функции .