Процесс чистого размножения. Процесс размножения и гибели.
Простейшее обобщение пуассоновского процесса получается при предположении, что вероятности скачков могут зависеть от текущего состояния системы. Это приводит нас к следующим требованиям.
Постулаты. (i)
Непосредственный переход из состояния
возможен только в состояние
.(ii)
Если в момент времени
система находится в состоянии
,
то (условная)вероятность одного скачка
в последующем коротком интервале времени
между
и
равна
тогда как (условная) вероятность более
чем одного скачка в этом интервале есть
.
Отличительная черта этого предположения заключается в том, что время, которое система проводит в любом конкретном состоянии, не играет 6никако роли; возможны внезапные изменения состояния, однако, пока система находится в одном состоянии, она не стареет.
Пусть
снова будет вероятностью того, что в
момент времени
система находится в состоянии
.
Эти функции
удовлетворяют системе дифференциальных
уравнений, которую можно вывести при
помощи рассуждений предыдущего параграфа
с тем лишь изменением, что (2.5) заменяется
на
. (3.1)
Таким образом, мы получим основную систему дифференциальных уравнений
(3.2)
В пуассоновском процессе было естественно
предполагать, что в момент времени 0
система выходит из начального состояния
.
Теперь мы можем допустить более общий
случай, когда система выходит из
произвольного начального состояния
.
Тогда получаем, что
(3.3)
Эти начальные условия единственным
образом определяют решение
системы (3.2). (В частности,
)
Явные формулы для
выводились независимо многими авторами,
однако для нас они не представляют
интереса. Легко проверить, что для
произвольных заданных
система
обладает всеми требуемыми свойствами,
за исключением того, что при некоторых
условиях
.
Примеры. а) Радиоактивный распад.
В результате испускания частиц или
-лучей
радиоактивный атом, скажем урана, может
превратиться в атом другого вида. Каждый
вид представляет собой возможное
состояние, и, когда процесс протекает,
мы получаем последовательность переходов
.
Согласно принятым физическим теориям,
вероятность перехода
остается неизменной, пока атом находится
в состоянии
,
и эта гипотеза находит выражение в нашем
исходном предположении. Стало быть,
этот процесс описывается дифференциальными
уравнениями (3.2) (факт, хорошо известный
физикам). Если
– конечное состояние, из которого
невозможны никакие другие переходы, то
и система (3.2) обрывается при
.
(При
мы автоматически получаем
)
Процесс размножения и гибели
Процесс чистого размножения из параграфа
3 дает удовлетворительное описание
радиоактивных превращений, однако он
не может служить реалистической моделью
для изменений объема совокупности,
члены которой могут умирать (или
исчезать). Это наводит на мысль об
обобщении нашей модели, допускающем
переходы из
не только в ближайшее сверху состояние
,
но и в ближайшее снизу состояние
.
(Процессы более общего вида будут
определены в параграфе 9)
Таким образом, мы начнем со следующих постулатов.
Постулаты. Изменения системы
осуществляются путем переходов из
состояний в ближайшие с ними соседние
состояния (из
в
или в
при
,
а из
– только в
).
Если в момент времени
система находится в состоянии
,
то вероятность того, что между
и
произойдет
переход
равна
,
а вероятность перехода
(если
)
равна
.
Вероятность более чем одного изменения
на протяжении
есть
.
Легко приспособить метод параграфа 2
для вывода дифференциальных уравнений
для вероятностей
того, что система находится в состоянии
.
Чтобы вычислить
,
заметим, что состояние
в момент
возможно лишь при выполнении одного из
следующих условий: 1) в момент
система находится в
и между
и
не происходит никаких изменений;
2) в момент
система находится в
и происходит переход в
;
3) в момент
система находится в
и происходит переход в
;
4) между
и
происходит два или несколько переходов.
По предположению вероятность последнего
события есть
.
Первые три возможности взаимно
исключаются, и их вероятности складываются;
поэтому
(5.1)
Перенося член
в левую часть и деля обе части уравнения
на
,
получаем в левой части разностное
отношение для
,
и в пределе при
приходим к
. (5.2)
Это уравнение справедливо при всех
.
Для
аналогичным образом получаем
. (5.3)
Если начальным состоянием является , то начальными условиями будут
. (5.4)
Таким образом, мы видим, что процесс
размножения и гибели зависит от
бесконечной системы дифференциальных
уравнений (5.2) – (5.3) с начальными условиями
(5.4). Вопрос о существовании и единственности
решения в этом случае отнюдь не тривиален.
В процессе чистого размножения система
дифференциальных уравнений (3.2) также
была бесконечной, но она имела вид
рекуррентных соотношений:
определялась первым уравнением, а
могла быть вычислена по
.
Новая система (5.2) имеет иной вид, и все
должны находиться одновременно. Здесь
(как и в некоторых других случаях в этой
главе) мы формулируем свойства решений
без доказательства.
Для произвольных заданных коэффициентов
всегда существует положительное
решение
системы
(5.2) – (5.4), такое, что
.
Если коэффициенты ограничены (или
возрастают достаточно медленно), то это
решение единственно и удовлетворяет
условию регулярности
.Однако
можно выбрать коэффициенты таким
образом, что
и будет существовать бесконечно много
решений. В последнем случае мы сталкиваемся
с явлением, аналогично изучавшемся в
предыдущем параграфе для процесса
чистого размножения. Эта ситуация
представляет значительный теоретический
интерес, однако можно без опасения
считать, что во всех практически
интересных случаях условия единственности
выполнены; в этом случае автоматически
(см. параграф 9).
При
переход
невозможен. В терминологии цепей Маркова
является поглощающим состоянием,
выход из которого невозможен; коль скоро
система окажется в
,
она останется там навсегда. Из (5.3)
следует, что в этом случае
,
так что
монотонно возрастает. Предел ее
есть вероятность окончательного
поглощения.
Можно показать (либо используя явный вид решений, либо из общих эргодических теорем для марковских процессов), что в любом случае пределы
(5.5)
Существуют и не зависят от начальных условий (5.4); они удовлетворяют системе линейных уравнений, которая получается из (5.2) – (5.3) при замене производных в левой части нулями.