Диаграммы перехода и система m/m/1.

Пусть – момент времени ухода (завершения обслуживания) заявки j из системы. Определим считающий процесс как процесс, принимающий в момент времени t значения, равные общему числу моментов , предшествовавших . Тогда число заявок в системе

,

где – процесс, принимающий в момент времени t значения, равные числу заявок, поступивших в систему на интервале времени . Если в каждый данный момент рассматривать значение как размер некоторой популяции, то можно интерпретировать как общее число рождений до момента времени t, а – как число погибнувших членов популяции. Отсюда процесс можно назвать процессом рождения и гибели.

Для процесса рождения и гибели справедливо (выведено ранее)

. (1а)

Эти уравнения выполняются при . При аналогичным образом выводится уравнение

.

Если в начальный момент времени , то должны выполняться начальные условия , при . Условия существования и единственности решения системы (1) отнюдь не тривиальны, и их обсуждение мы опускаем.

Мы будем искать установившееся решение системы (1), которого вполне достаточно для многих приложений. Установившееся (стационарное) решение определяется как не зависящее от t распределение вероятностей , , … , , удовлетворяющее системе (1). Если такое распределение существует, оно единственно и для каждого состояния n

.

Для нахождения можно использовать систему линейных уравнений

,

которая получается из уравнений (1а), если положить в них . Преобразуя уравнения системы (2), получим

, (3)

где с – постоянная. Из (1б) находим, что

.

Отсюда в (3) и получается следующая система рекуррентных уравнений:

(4)

Уравнению (4) можно дать следующую интерпретацию. Его левая часть представляет собой интенсивность перехода из состояния n в состояние , и эта величина балансируется правой частью, представляющей собой интенсивность перехода из состояния в состояние . Граф переходов, отвечающий уравнениям баланса (4), изображен на рис. 2.

Рис. 2. Диаграмма уравнений баланса для процесса рождения и гибели

Стационарные вероятности теперь вычисляются рекуррентно:

, (5)

где

, . (6)

Вероятность определяется из того условия, что , поскольку – распределение вероятностей. Таким образом, если ряд

(7)

Сходится, то, обозначая его сумму через , получим

. (8)

3.2. Простейшая система . Рассмотрим СМО с одним обслуживающим устройством, пуассоновским входящим потоком с параметром и экспоненциально распределенной с параметром длительностью обслуживания. Легко видеть, что число заявок , находящихся в системе в момент времени , описывается процессом рождения и гибели с и . В этом случае рекуррентное соотношение (5) принимает вид

,

где . Если , то ряд сходится и

.

Таким образом, стационарная вероятность того, что в системе находится заявок,

. (9)

Стационарное распределение (9) является геометрическим распределением. Его среднее легко вычисляется:

. (10)

Среднее время ответа можно легко вычислить из (10), используя первую из формул Литтла (2.6).

16