2. Пуассоновский процесс
Пуассоновский процесс можно рассматривать с различных точек зрения, и здесь мы рассмотрим его в качестве прототипа всех процессов из этой главы. Последующий вывод распределения Пуассона наилучшим образом подходит для наших обобщений, однако он никоим образом не является лучшим и в других контекстах.
В качестве эмпирических предпосылок
возьмем такие случайные события, как
распад частиц, поступающие телефонные
вызовы, расщепление хромосом под
воздействием вредной радиации.
Предполагается, что все наблюдаемые
события однотипны, и мы интересуемся
полным числом
событий, происшедших в течение
произвольного интервала времени длины
.
Каждое событие представляется точкой
на оси времени, и поэтому мы в
действительности рассматриваем некоторые
случайные размещения точек на прямой.
Лежащие в основе нашей математической
модели физические предположения состоят
в том, что силы и воздействия, управляемые
процессом, остаются постоянными, так,
что вероятность любого отдельного
события одна и та же для всех интервалов
времени продолжительности
и не зависит от прошлого развития
процесса. Математически это означает,
что наш процесс является однородным по
времени марковским процессом в смысле,
описанном в предыдущем параграфе. Как
уже говорилось, мы не стремимся к полной
теории таких процессов, а удовольствуемся
выводом основных вероятностей
. (2.1)
Они могут быть выведены из простых постулатов без обращения к более глубоким теоретическим соображениям.
Чтобы ввести понятия, подходящие и для
других процессов из этой главы, мы
выберем начало отсчета времени и будем
говорить, что в момент времени
система находится в состоянии
,
если между 0 и
произошло ровно
скачков функции
.
Тогда
равняется вероятности состояния
в момент
,
однако
может быть также описана как вероятность
перехода из произвольного состояния
в произвольный момент времени
в состояние
к моменту
.
Теперь наше нестрогое описание процесса
мы преобразуем в свойства вероятностей
.
Разобьем временной интервал единичной
длины на
подинтервалов длины
.
Вероятность скачка внутри любого из
этих подинтервалов равна
,
и поэтому математическое ожидание числа
интервалов, содержащих скачки, равно
. Интуитивно представляется, что при
это число должно стремиться к
математическому ожиданию числа скачков
внутри произвольного интервала времени
единичной длины, и поэтому естественно
предположить, что существует число
такое, что
. (2.2)
Физическая картина процесса требует
также, чтобы скачок обязательно приводил
из состояния
в соседнее состояние
,
и отсюда вытекает, что математическое
ожидание числа подинтервалов (длины
),
содержащих более чем один скачок, должно
стремиться к 0. Поэтому мы должны
предположить, что при
. (2.3)
Чтобы окончательно сформулировать
постулаты, запишем (2.2) в виде
,
где (как обычно)
обозначает величину, по порядку меньшую
чем
.
(Точнее говоря,
означает такую величину, что
при
).
С учетом этого (2.3) эквивалентно соотношению
.
Сформулируем теперь следующие постулаты.
Постулаты пуассоновского процесса.
Процесс начинается в момент времени
0 в состоянии
(
).
Непосредственный переход из состояния
возможен только в состояние
(
).
Каково бы ни было состояние
процесса в момент времени
,
(условная) вероятность скачка внутри
последующего короткого интервала
времени между
и
равна
,
тогда как (условная) вероятность
наличия в нем более чем одного скачка
есть
.
Как было объяснено в предыдущем параграфе, эти условия слабее нашего исходного предположения об отсутствии влияния прошлой истории процесса на его будущую эволюцию. С другой стороны, наши постулаты носят чисто аналитический характер, и их достаточно, чтобы показать, что мы должны иметь
. (2.4)
Для доказательства этого возьмем сперва
и рассмотрим событие, состоящее в том,
что в момент времени
система находится в состоянии
.
Вероятность этого события равна
,
и осуществиться оно может тремя
взаимоисключающими способами.
Во-первых, в момент времени система может находиться в состоянии , и между и не произойдет ни одного скачка. Вероятность этой возможности равна
.
Вторая возможность состоит в том,
что в момент времени
система находится в состоянии
и между
и
происходит в точности один скачок.
Вероятность этого равна
.
Любое другое состояние в момент более одного скачка в интервале между и , и вероятность подобного события есть .
Следовательно, мы должны иметь
, (2.5)
а это соотношение можно переписать в виде
. (2.6)
При последний член стремится к нулю; следовательно, предел левой части существует и равен
. (2.7)
При
вторая и третья из упомянутых выше
возможностей не возникают, и поэтому
(2.5) следует заменить на
,
(2.8)
что приводит к
. (2.9)
Отсюда и из
получаем
.
Подставляя это значение
в (2.7) при
,
мы получим обыкновенное дифференциальное
уравнение для
.
Поскольку
,
мы легко находим, что
,
а это полностью согласуется с (2.4).
Продолжая таким же образом, мы
последовательно находим все члены
(2.4).
Список литературы:
1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. – М.: Мир, 1984.
1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения – М.: Высш. шк., 2007