2. Проверим, является ли функция четной или нечетной.

Найдем

 

 

Т.к. f(-х)  f(х) и f(-х)  -f(х) (см. 4.4), то функция не является ни четной, ни нечетной.

Значит, график функции не имеет ни оси симметрии, ни центра симметрии.

3. Найдем асимптоты.

а) Функция имеет точку разрыва II-го рода х = -1 (в ней не выполнены требования непрерывности функции). Т.к.

 

 

 

то прямая х = -1 служит вертикальной асимптотой графика функции (см. 4.6.2).

б) Наклонную асимптоту ищем в виде у = kх + b, где (см. 4.6.3)

 

 

 

т.о.,   .

 

 

 

 

  

 

т.о.,  b = -1.

Подставляя найденные значения k и b в уравнение у = kх + b, получим

 

 – уравнение наклонной асимптоты.

 

4. Найдем интервалы монотонности и точки экстремума функции.

Найдем первую производную функции

 

 

 

 

 

Найдем критические точки I-го рода (см. 4.7). Приравняем первую производную у^/(х) к нулю

 

,

 

точки х₁ = -3 и х₂ = 0 – критические точки I-го рода.

Производная у^/(х) не существует, когда знаменатель дроби обращается в нуль

 

(х + 1)³ = 0    х + 1 = 0    х₃ = -1.

 

Точка х = -1 не может быть критической точкой, т.к. эта точка не принадлежит области определения функции (см. 4.7).

Составим таблицу промежутков монотонности функции (определим знак производной  у^/(х) в любой точке каждого промежутка).

 

х	(-∞; -3)	-3	(-3; -1)	-1	(-1; 0)	0	(0; ∞ )
у/	+	0	–	∞	+	0	+
у						0
		точка  max		точка разрыва		нет   экстремума

 

Из таблицы видно, что функция  у = f(х) возрастает на интервалах 

(-∞; -3), (-1; 0) и (0; +∞) и убывает на интервале (-3; -1) (см. 4.5).

При переходе через точку критическую х₁ = -3 производная у^/(х) меняет знак с «плюса» на «минус», следовательно, х = -3 – точка максимума (см. 4.8)

 

 

Т.о., точка   –  точка максимума.

 

5. Найдем интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции и точки перегиба (см. 4.9).

Находим производную второго порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем критические точки II-го рода (см. 4.9.2). Приравняем вторую производную у^//(х) к нулю

 

 

Т.о., х = 0 – критическая точка II-го рода, т.е. точка х = 0 «подозрительная» на перегиб (см. 4.9.2).

Вторая производная у^//(х) не  существует, когда знаменатель дроби обращается в нуль

 

(х + 4)⁴ = 0    х + 1 = 0    х = -1.

 

точка  х = -1 не принадлежит области определения функции.

Составим  таблицу  промежутков  выпуклости  и  вогнутости  графика функции (определим знак второй производной в любой точке каждого интервала).

 

 

х	(-∞;-1)	-1	(-1; 0)	0	(0; +∞ )
у//	–	∞	–	0	+
у				0
		точка разрыва		точка   перегиба

 

Из таблицы видно, что кривая выпукла на интервалах (-∞; -1) и

(-1; 0) и вогнута на интервале (0; +∞) (см. 4.9.1).

При переходе через критическую точку х = 0 вторая производная

у^//(х) меняет знак, следовательно, х = 0 – точка перегиба графика функции (см. 4.9.2)

 

 

Т.о., Р(0; 0) – точка перегиба.

6. Используя результаты исследования, построим график функции

 

Напомним:

вертикальная асимптота  х = -1;

горизонтальной асимптоты нет;

наклонная асимптота ;

точка локального максимума ;

точка перегиба Р(0, 0).

Сначала строим асимптоты и точки M и Р, затем график функции.

 

 

 

Решение

в) Воспользуемся схемой полного исследования (см. 4.10).

1. Найдем область определения функции .

Функция определена при всех х, кроме  х = 0:

Х = (-∞; 0)  (0; +∞) – область определения функции (см. 4.2).