
- •Математические модели и их виды. Классификация моделей
- •Экстемум функций многих переменных. Линии уровня. Градиент. Условный экстремум
- •Постановка и свойства задачи линейного программирования. Геометрическая интерпретация.
- •Симплекс- метод решения задачи линейного программирования
- •Двойственная задача линейного программирования, ее интерпретация и свойства
- •Транспортная задача и ее математическая модель. Определение опорного плана транспортной задачи
- •Определение оптимального плана транспортной задачи методом потенциалов. Приемы решения методом потенциалов транспортных задач
- •Геометрическая и экономическая интерпретация задач нелинейного программирования. Метод множителей Лагранжа. Возможности численного решения нелинейных и целочисленных задач
- •Основные понятия и общая характеристика задач динамического программирования, их геометрическая и экономическая интерпретация. Нахождение решение задач методом динамического программирования
- •Оптимизационные задачи, решаемые при помощи графов. Алгоритмы на графах
- •Нахождение максимального и минимального пути в графе. Решение транспортной задачи с помощью графов
- •Основные понятия теории массового обслуживания. Компоненты и классификация моделей систем массового обслуживания
- •Определение характеристик систем массового обслуживания. Марковский процесс. Уравнения Колмогорова
- •Одноканальные и многоканальные смо с пуассоновским входным потоком и экпотенциальным распределением длительности обслуживания
- •Основные количественные характеристики простейшего потока.
- •Распределение интервала времени t между произвольными двумя соседними событиями простейшего потока.
- •Одноканальная смо с отказами и ее характеристики
- •Многоканальная смо с отказами и ее характеристики
- •Одноканальная смо с ожиданием и его характеристики. Формула Литтла
- •Многоканальное смо с ожиданием и ее характеристики. Формула Литтла
- •Простейшие задачи решаемые методом имитационного моделирования. Теоретические основы метода имитационного моделирования
- •Моделирование смо с использованием метода Монте- Карло
- •Имитация процессов, происходящих во времени. Основная идея и методы прогнозирования. Количественные методы прогноза. Прогнозирование временных рядов. Модель линейной регрессии
- •Предмет теории игр, основные понятия. Матричные игры. Цны, доминирующие и оптимальные стратегии игр. Принцип минмакса. Решение задач теории игр в чистых стратегиях
- •Стратегические игры в смешанных стратегиях. Основная теорема теории игр. Решение задачи в смешанных стратегиях методами линейного программирования
- •Оценка сложных систем в условиях неопределенности. Матрица рисков. Критерии: Байеса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица.
Двойственная задача линейного программирования, ее интерпретация и свойства
Понятие двойственности
рассмотрим на примере задачи оптимального
использования сырья. Пусть на предприятии
решили рационально использовать отходы
основного производства. В плановом
периоде появились отходы сырья m видов
в объемах
единиц
.
Из этих отходов, учитывая специализацию
предприятия, можно наладить выпуск n
видов неосновной продукции. Обозначим
через
норму
расхода сырья i-го вида на единицу
j-й
продукции,
-
цена реализации единицы j-й продукции
(реализация обеспечена). Неизвестные
величины задачи:
— объемы
выпуска j-й
продукции, обеспечивающие предприятию
максимум выручки.
Математическая модель
задачи:
(2.23)
(2.24)
(2.25)
Предположим далее, что с самого начала
при изучении вопроса об использовании
отходов основного производства на
предприятии появилась возможность
реализации их некоторой организации.
Необходимо установить прикидочные
оценки (цены) на эти отходы. Обозначим
их
.
Оценки должны быть установлены исходя
из следующих требований, отражающих
несовпадающие интересы предприятия и
организации:
1) общую
стоимость отходов сырья покупающая
организация стремится минимизировать;
2) предприятие согласно уступить отходы
только по таким ценам, при которых оно
получит за них выручку, не меньшую той,
что могло бы получить, организовав
собственное производство.
Эти требования формализуются в виде
следующей ЗЛП.
Требование
1 покупающей организации – минимизация
покупки:
(2.26)
Требование 2
предприятия, реализующего отходы сырья,
можно сформулировать в виде системы
ограничений. Предприятие откажется от
выпуска каждой единицы продукции первого
вида, если
,
где левая часть означает выручку за
сырьё идущее на единицу продукции
первого вида; правая – её цену.
Аналогичные рассуждения логично провести
в отношении выпуска продукции каждого
вида. Поэтому требование предприятия,
реализующего отходы сырья, можно
формализовать в виде сл. системы
ограничений:
(2.27)
По смыслу задачи
оценки не должны быть
отрицательными:
.
(2.28)
Переменные
называют
двойственными оценками или объективно
обусловленными оценками.
Задачи (2.23) - (2.25) и (2.26) - (2.28) называют
парой взаимно двойственных ЗЛП.
Между прямой и двойственной задачами
можно установить следующую взаимосвязь:
1. Если прямая задача на максимум, то
двойственная к ней — на минимум, и
наоборот.
2.
Коэффициенты
целевой
функции прямой задачи являются свободными
членами ограничений двойственной
задачи.
3. Свободные
члены
ограничений
прямой задачи являются коэффициентами
целевой функции двойственной.
4. Матрицы ограничений прямой и двойственной
задач являются транспонированными друг
к другу.
5. Если прямая
задача на максимум, то ее система
ограничений представляется в виде
неравенств типа
.
Двойственная задача решается на минимум,
и ее система ограничений имеет вид
неравенств типа
.
6. Число ограничений прямой задачи равно
числу переменных двойственной, а число
ограничений двойственной — числу
переменных прямой.
7.
Все переменные в обеих задачах
неотрицательны.