Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Matmetody.doc
Скачиваний:
25
Добавлен:
26.09.2019
Размер:
1.38 Mб
Скачать

Одноканальная смо с ожиданием и его характеристики. Формула Литтла

Система массового обслужи­вания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью l. Интенсивность потока обслуживания равна m(т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать m. обслуженных заявок). Длительность обслуживания — случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживании является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.  Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь+ обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.  Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на Рис. 3.2.

Рис 3 2 Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием (схема гибели и размножения)

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S0 - канал свободен

S1 - канал занят (очереди нет);

S2 - канал занят (одна заявка стоит в очереди);

……………………………….

Sn-канал занят (n - 1 заявок стоит в очереди);

……………………………

SN - канал занят (N - 1 заявок стоит в очереди).

Стационарный провес в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:

 

п -номер состояния.

Решение приведенной выше системы уравнений (3.10) для нашей модели СМО имеет вид

 

Следует отметить, что выполнение условия стационарности   для данной СМО необязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N— 1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением  l/m = p  Определим характеристики одноканальной СМОс ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N —1):

  • вероятность отказа в обслуживании заявки: 

  • среднее время пребывания заявки в системе:

  • средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

  • среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):

Формула Литтла

Среднее число заявок в системе равно произведению интенсивности входного потока на среднее время пребывания заявки в системе.

Многоканальное смо с ожиданием и ее характеристики. Формула Литтла

Рассмотрим многоканальную СМО (n ? 1) с ожиданием, т. е. заявка, поступившая в СМО в момент времени, когда все каналы заняты, в отличие от СМО с отказами, не покидает систему необслуженной, а становится в очередь и ожидает обслуживания. Следует отметить, что большинство обслуживающих фирм и учреждений устроены как раз по такому принципу. Пусть максимальное число мест в очереди равно т ? 1, т. е. в очереди могут ожидать своего обслуживания не более т заявок. Поэтому заявка, пришедшая на вход в СМО в момент, когда в очереди уже находятся т заявок, получает отказ и покидает систему. Иными словами, «заполнение» СМО заявками из входного потока идет в два этапа: сначала происходит загрузка каналов обслуживания, затем заполняется очередь. Нумерация состояний системы в этом случае имеет следующий вид: от состояния s0 (в СМО нет заявок и все каналы свободны) до состояния sn (в СМО n заявок и все каналы заняты) очереди нет; от состояния sn+1 (в СМО n + 1 заявка, все каналы заняты и одна заявка находится в очереди) до состояния sn + m(все каналы заняты и все т мест в очереди заняты заявками) происходит заполнение очереди.

Граф состояний СМО показан на рис. 2. Переход системы из состояния sk в состояние sk+1 слева направо (k = 0, 1,..., n + т - 1) происходит под воздействием одного и того же входного потока заявок интенсивности , следовательно, плотности вероятности перехода из состояния в состояние слева направо одинаковы и равны .

Переход системы из состояния в состояние справа налево происходит с разными плотностями вероятностей внутри двух циклов состояний, отмеченных выше. Если заявка продолжает оставаться в очереди (состояние sk, n+1?k?n+т), т. е. все каналы заняты, то эти переходы имеют плотность вероятности, равную n  (перемещение системы из состояния в состояние обусловлено общей работой nканалов). Если система находится в состоянии, когда занято k каналов (1 ? k ? n ), то переход ее в левое состояние обусловлен потоком, представляющим собой сумму k потоков обслуживании (общей работой k каналов); в таком случае плотность вероятности перехода равна k  .  Следует отметить, что система не может «перескакивать» через промежуточное состояние, а переходит из состояния в состояние последовательно: либо слева направо, либо справа налево по графу состояний.

Предельные вероятности р0, р1,..., рn, рn+1, ..., рn+т соответствующих состояний СМО удовлетворяют системе линейных однородных алгебраических уравнений, которая получается из системы дифференциальных уравнений Колмогорова путем, аналогичным описанному выше. Эта система имеет вид:

К этой системе уравнений необходимо добавить нормировочное условие

Введем величину  = р/n =  /(n  ) -  показатель нагрузки на один канал. Решение системы уравнений выражается, как и в случае СМО с отказами, через вероятность простоя системы (или вероятность того, что все каналы свободны) р0:

Второе слагаемое в правой части этого равенства является суммой т членов геометрической прогрессии с первым членом   изнаменателем  , т. е. формула для р0 упрощается:

Остальные предельные вероятности состояний имеют вид, аналогичный формулам:

Характеристики СМО Вероятность отказа (заявка, поступившая в момент, когда заняты все n каналов и все т мест в очереди) есть вероятность того, что СМО находится в состоянии sn+m, откуда получаем:

Так как события отказа заявки и приема ее в СМО являются противоположными, то вероятность приема заявки в СМО равна вероятности psys и относительной пропускной способности системы:

Отсюда получаем формулу для абсолютной пропускной способности:

Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем ц заявок в единицу времени, то среднее число заявок, находящихся под обслуживанием (или среднее число занятых каналов) подсчитывается по формуле:

Для вычисления среднего числа заявок  line, находящихся в очереди, рассмотрим дискретную случайную величину Nline, — число заявок в очереди. Закон распределения Nline имеет вид:

Nline

0

1

2

т

Р

Ps

Рп+1

Рп + 2

Рп + т

Здесь

,

поскольку событие, состоящее в том, что в очереди нет ни одной заявки, является объединением событий, состоящих в том, что СМО находится в одном из состояний s0s1..., sn. Так как  lineявляется математическим ожиданием М случайной величины Nline;, то отсюда получаем и преобразуем:

Сумма в последнем равенстве имеет выражение в виде компактной формулы как при  (формула суммирования), так и при   (сумма отрезка натурального ряда чисел). Соответственно мы получаем окончательное выражение для среднего числа заявок в очереди:

Среднее число заявок, находящихся в системе, равно сумме средних чисел обслуживаемых заявок и заявок, находящихся в очереди:

Для средних величин времени обслуживания заявки, времени ожидания заявки в очереди и времени пребывания заявки в системе имеем, соответственно, следующие формулы (формулы Литтла):

Выше названные формулы позволяют рассчитать все характеристики работы многоканальной СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди. Эти формулы используются для проверки результатов моделирования.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]