6.Основная теорема о вычетах.

Теорема. Пусть f(z) – функция, голоморфная во всякой точке области G, кроме конечного числа особых точек а₁, а₂,…, a_k. Обозначим через Г произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, содержащий внутри себя точки a₁, a₂,…, a_k и целиком лежащий в области G. Тогда, интеграл равен сумме вычетов функции f(z) относительно a₁, a₂,…, a_k.

6

Доказательство. Опишем из точек a1, a2,…, ak как центров, окружности γ₁, γ₂,…, γ_k настолько малые, что они попарно не пересекались и целиком лежали внутри Г.

Так как f(z) голоморфна в каждой точке замкнутой области, ограниченной сложным контуром K=Г+ γ ₁+ γ ₂+…+ γ _k , то по теореме Коши …+ … (4).

Интегрирование совершается по контурам Г, γ₁, γ₂,…, γ_k в положительном направлении. Это и доказывает теорему о вычетах, так как в правой части этого равенства стоят вычеты функции f(z),соответствующие точкам a₁,a₂,.,a_k.

7.Вычисление вычета функции относительно полюса.

Пусть точка а есть простой полюс функции f(z). В этом случае главная часть разложения Лорана содержит лишь одну первую отрицательную степень z-a:

f(z)=c₀+c₁(z-a)+…+c_n(z-a)ⁿ+…+c_n(z-a)ⁿ+…+ (5).

Умножим обе части на z-a: (z-a)f(z)=c₀(z-a)+c₁(z-a)²+…+c_n(z-a)ⁿ⁺¹+c_-1 (6). Сумма степенного ряда справа в (6)- непрерывная функция в точке а. Поэтому, переходя к пределу при z→a, получим: c_-1= (7).

Точка а есть простой полюс функции f(z)= , если ϕ(z) и ψ(z) – голоморфные функции в точке а, причем ϕ(a)≠0; ψ(a)=0; ψ/(a)≠0.

Итак, с1= = , так как ψ(a)=0 и

ϕ(a), то = ψ'(a)≠0; c_-1= (8).

7

Пусть полюс – произвольный n-го порядка. В этом случае разложение Лорана: f(z)=c0+c1(z-a)+…+ + +…+ (9).

Умножив обе части на(z-a)ⁿ:

(z-a)ⁿ f(z)=c_n+c_-n+1(z-a)+…+c_-1(z-a)^n-1+c₀(z-a)ⁿ+c₁(z-a)ⁿ⁺¹+… (10)

Продифференцировав (10) n-1 раз, мы получим в правой части обыкновенный степенной ряд, свободный член которого c-1(n-1)! . Поэтому,

=c_-1(n-1)!, откуда c_-1= .

8.Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки.

Распространим понятие вычета на случай бесконечно удаленной точки. Пусть бесконечно удаленная точка является изолированной особой точкой функции f(z) и обозначим через С произвольный замкнутый контур, лежащий целиком в окрестности этой точки. Вычетом функции f(z) относительно бесконечно удаленной точки будет тоже , но интегрирование совершается теперь по контуру С в отрицательном направлении, так как контур С нужно проходить по часовой стрелке, чтобы бесконечно удаленная точка оставалась все время с левой стороны. В окрестности бесконечно удаленной точки разложение Лорана: f(z)=c₀+ + +…+ c₁z+c₂z²+… (1) Так как ряд (1) равномерно сходится на С, то можно интегрировать вдоль С:

_-1 =-c_-12πi. Откуда _-1 (2), res f(z)=-c_-1, то есть вычет функции относительно бесконечно удаленной точки равен коэффициенту при первой отрицательной степени разложения Лорана, взятому с противоположным знаком. В случае устранимой особой точки, лежащей на конечном расстоянии, вычет всегда равен нулю. Этого может не быть в случае бесконечно удаленной точки, так как в ряду Лорана функции f(z) отсутствуют положительные степени z, а z^-1 может присутствовать.

8

Теорема. Если f(z) – функция, голоморфная во всякой точке расширенной плоскости комплексного переменного z, кроме конечного числа особых точек, то сумма вычетов относительно всех ее особенностей (включая и бесконечно удаленную точку) всегда равна нулю. Доказательство. Опишем из нулевой точки, как центра, окружность С столь большого радиуса, чтобы все особые точки функции (кроме бесконечно удаленной) лежали внутри этой окружности. По основной теореме о вычетах значение интеграла равно сумме вычетов относительно всех особых точек функции f(z), лежащих внутри С. С другой стороны, вычет той же функции относительно бесконечно удаленной точки Поэтому, + (3), что и требовалось доказать. Итак, res f(z)+…+res f(z)+res f(z)=0 Применение этой теоремы сводится к следующему: если затруднительно вычислить один из интегралов, входящих в (3), то можно попытаться вычислить все остальные интегралы и искомый интеграл получить из (3). Само вычисление этих интегралов сводится к разложению функции f(z) в ряд Лорана в окрестности соответствующих особых точек. В сущности и эти разложения не надо знать 6полностью. Достаточно только знать члены вида c-1/(z-a) этих разложений, чтобы прийти к цели.

Нули функции.

Замечание. Нулем кратности m называется точка а, если f(a)=0, f'(a)=0,…,

f^(n-1)(a)=0, f⁽ⁿ⁾ (a)≠0. Если n=1, то а – простой нуль. Если нуль n-го порядка, то f(z)=(z-a)ⁿ ϕ(z), где ϕ(z) – аналитична в точке а и ϕ(a)≠0. Пример. Найти нули функции f(z)=1+cos z и определить их порядок. Решение. 1+cosz=0; cosz=-1; z=π+2nπ; f'(z)=-sin z; f'(π+2nπ)=-sin(π+2nπ)=0;

f'(z)=-cos z; f'(π+2nπ)=-cos(π+2nπ)=1≠0. Точки π+2nπ - нули кратности 2.

9