1 3.4.2. Объём тела, получающегося при вращении кривой вокруг координатной оси. Если объём получается в результате вращения кривой , , вокруг оси , то, очевидно, , поэтому .

Пример: найти объём эллипсоида, получающегося при вращении эллипса вокруг оси .

Решение: эту задачу проще решить, если применить параметрические уравнения эллипса: . Верхняя дуга эллипса получается при изменении от 0 до , при этом точке крайней левой точке эллипса соответствует значение параметра , равное , крайней правой точке соответствует значение . Формула для кривой, заданной параметрически, примет вид , поэтому .

Если требуется найти объём тела, которой получается при вращении плоской фигуры вокруг оси , рассуждаем по другому. Разбиваем тело на полые цилиндры радиуса , толщины , высоты . Объём этого цилиндра равен произведению длины окружности на толщину и высоты ; суммируя эти объёмы и переходя к пределу при , получим .

13.4.3. Объём тела, получающийся при вращении сектора, ограниченного кривой и двумя полярными радиусами и , вокруг полярной оси находится по формуле . Пример: найти объём тора, полученного вращением окружности вокруг полярной оси.

Решение: .

О пределение двойного интеграла для прямоугольника

Пусть произвольная функция f(x, y) определена всюду на прямоугольнике R = [a ≤ x ≤ b] × [c ≤ y ≤ d] (см. Рис. 1).

Разобьем сегмент a ≤ x ≤ b на n частичных сегментов при помощи точек a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b, а сегмент c ≤ y ≤ d на p частичных сегментов при помощи точек c = y₀ < y₁ < y₂ < ... < y_p = d.

Этому разбиению при помощи прямых, параллельных осям Ox и Oy, соответствует разбиение прямоугольника R на n · p частичных прямоугольников 

R_kl = [x_k-1 ≤ x ≤ x_k] × [y_l-1 ≤ y ≤ y_l] (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Указанное разбиение прямоугольника R обозначим символом T. В дальнейшем в этом разделе под термином "прямоугольник" будем понимать прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям. На каждом частичном прямоугольнике R_kl выберем произвольную точку (ξ_k, η_l). Положив Δx_k = x_k - x_k-1, Δy_l = y_l - y_l-1, обозначим через ΔR_klплощадь прямоугольника R_kl. Очевидно, ΔR_kl = Δx_kΔy_l.Число  1)называется интегральной суммой функции f(x, y), соответствующей данному разбиению T прямоугольника R и данному выбору промежуточных точек (ξ_k, η_l) на частичных прямоугольниках разбиения T.

Диагональ   будем называть диаметром прямоугольника R_kl. Символом Δ обозначим наибольший из диаметров всех частичных прямоугольников R_kl.

Число I называется пределом интегральных сумм (1) при Δ → 0, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное число δ, что при Δ < δ независимо от выбора точек (ξ_k, η_l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство| σ - I | < ε.

Функция f(x, y) называется интегрируемой (по Риману) на прямоугольнике R, если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при Δ → 0.

Указанный предел I называется двойным интегралом от функции f(x, y) по прямоугольнику R и обозначается одним из следующих символов:

. Определение двойного интеграла. Теорема существования двойного интеграла. Пусть на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и пусть на области D определена функция f(x, y).

Разобьём область D произвольным образом на n подобластей D₁, D₂, D₃, …, D_n, (не имеющих общих внутренних точек). Символом s(D_i) будем обозначать площадь области D_i; символом diam(D)здесь и дальше будет обозначаться наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащими области D: ;символом d обозначим наибольший из диаметров областей D_i: . В каждой из подобластей D_i (i = 1,2, …, n) выберем произвольную точку P_i = (x_i, y_i), вычислим в этой точке значение функции f(P_i ) = f (x_i, y_i), и составим интегральную сумму .

Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения области D на подобласти D_i, ни от выбора точек P_i, то функция f(x, y) называется интегрируемой по области D, а значение этого предела называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается .

Если расписать значение f(P) через координаты точки P, и представить ds как ds = dx dy, получим другое обозначение двойного интеграла: . Итак, кратко, .

Теорема существования двойного интеграла. Если подынтегральная функция f(x, y) непрерывна на области D, то она интегрируема по этой области.

16.1.2. Геометрический смысл двойного интеграла. Геометрический смысл каждого слагаемого интегральной суммы: если , то - объём прямого цилиндра с основанием D_i высоты f(P_i); вся интегральная сумма - сумма объёмов таких цилиндров, т.е. объём некоторого ступенчатого тела (высота ступеньки, расположенной над подобластью D_i, равна f(P_i)). Когда , это ступенчатое тело становится всё ближе к изображенному на рисунке телу, ограниченному снизу областью D, сверху - поверхностью z = f(x, y), с цилиндрической боковой поверхностью, направляющей которой является граница области D, а образующие параллельны оси Oz. Двойной интеграл равен объёму этого тела.