6.Интегрирование иррациональностей.

Рассмотрим интеграл .

Будем предполагать, что числа рациональны и записаны с одним и тем же знаменателем: , m- натуральное число.

Сделаем замену переменной

, откуда , здесь (x) – рациональная функция, поэтому ’(t) – также рац. ф-я.

Поскольку ,

То ,

так как – рациональная функция, то замена переменных сводит интеграл к интегралу от рациональной функции.

Интеграл можно привести к виду ., когда квадратный трехчлен имеет действительные корни:

если , то

Рассмотрим интеграл вида .

Его подыинтегральное выражение называется дифференциальным биномом. Будем рассматривать случаи, когда являются рациональными, а a и b – произвольными действительными числами.

Сделаем замену переменных: , тогда и, следовательно,

Таким образом, интеграл сводится к интегралу вида , где и - рациональные числа, . Рассмотрим три случая:

1. – целое число, пусть , где m и n >0 – целые числа. Подстановка сводит интеграл к интегралу от рац. дроби.

2. – целое число, пусть , тогда интеграл приводится к рац. виду с помощью подстановки .

3. – целое число. Пусть , имеем , постановка сводит этот интеграл к интегралу от рациональной функции.

Итак, в трех случаях интеграл сводится к интегралу от рац. функции, тогда, если хотя бы одно из чисел в первоначальном интеграле является целым числом, то этот интеграл сводится к интегралу от рац. функции, и, следовательно, выражается через элементарные функции.

7. Интегрирование тригонометрических выражений.

Интеграл сводится подстановкой ,

К интегралу от рациональной функции:

Поэтому

, т.е. получился интеграл от рациональной дроби. При вычислении интегралов этого типа часто оказываются полезными также подстановки u = sin x, u = cos x, u = tg x. В ряде случаев, при интегрировании с помощью этих подстановок требуется провести меньше вычислений.

Интегралы

В случае, когда m и n – рациональные числа, этот интеграл подстановкой u=sinx или v=cosx сводится к интегралу от иррациональной функции, в самом деле, если, например, u = sin x, то

И, следовательно,

, т.е. получился интеграл от дифференциального бинома, и, таким образом, выражается ли он через элементарные функции, зависит от показателей степени

Если m и n – целые числа, интеграл относится к типу интегралов и для его вычисления целесообразно использовать подстановки.

Интегралы

Эти интегралы вычисляются, если их подынтегральные выражения преобразовать по формулам

8. Интеграл Римана. Определенный интеграл. Существование интеграла Римана у монотонной функции, имеющей первообразную. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция f определена на отрезке [a,b], a<b, и – некоторое разбиение этого отрезка. Всякая сумма вида

Называется интегральной суммой Римана функции f.

Функция F называется интегрируемой по Риману на отрезке [a,b], если для любой последовательности разбиений отрезка [a,b], мелкость которых стремиться к нулю: , и для любого выбора точек последовательности интегральных сумм

Имеют один и тот же предел. Этот предел называется интегралом Римана ф-ции f по отрезку [a,b]. Его обозначают и пишут

Можно сформулировать определение интеграла Римана и не используя понятия предела последовательности: Число I называется интегралом Римана от функции F на отрезке [a,b], если что, каково бы ни было разбиение отрезка [a,b], мелкость которого меньше , и каковы бы ни были точки выполняется неравенство

В интеграле число a называется нижним, а число b – верхним пределом интегрирования.

Для непрерывной в промежутке [a,b] функции f(x) Всегда существует первообразная.

Если F(x) есть любая первообразная для f(x) функция, то

Постоянную C легко определить, положив здесь x=a, будем иметь

, откуда C= -F(a), окончательно

В частности, при x=b получим

Это – основная формула интегрального исчисления (Формула Ньютона-Лейбница)